lrh2006

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发表于 2017-3-18 23:44 | 只看该作者

[函数] 函数问题，任意存在求范围，$f(x)=|2/x-ax-b|$

Doc1.doc (65.5 KB) 求助,请各位不吝赐教，谢谢

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色k

2^#

发表于 2017-3-18 23:51 | 只看该作者

为何不贴图？

这名字我喜欢

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色k

3^#

发表于 2017-3-19 00:36 | 只看该作者

本帖最后由色k 于 2017-3-19 00:38 编辑

其实还是那类题目，那类套路，真没新意……

先翻译题目：
记 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最大值为 $M$，由于它跟 $a$, $b$ 有关，所以还是记为 $M(a,b)$ 好些。
存在 $x_0\in[1,2]$ 使 $f(x_0)\geqslant m$ 等价于 $M(a,b)\geqslant m$，它要对任意正数 $a$ 和实数 $b$ 恒成立，所以就是要求出 $M(a,b)$ 的最小值或下确界，翻译完毕。

然后就是老招式：
\[2M(a,b)\geqslant f(1)+f(2)=\abs{2-a-b}+\abs{1-2a-b}
\geqslant \abs{2-a-b-(1-2a-b)}=\abs{1+a}>1,\]
得到 $M(a,b)>1/2$，又当 $a\to0$ 且 $b=3/2$ 时容易验证 $M(a,b)\to1/2$，所以 $M(a,b)$ 的下确界就是 $1/2$，因此 $m$ 的取值范围就是 $(-\infty,1/2]$。

怎么样？是不是觉得似曾相识？我都不知写过多少遍类似这样的过程了……

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lrh2006

4^#

发表于 2017-3-19 08:07 | 只看该作者

回复 3# 色k

为什么每次跟你一比，我都显得那么笨，好忧伤。。。把你曾经写过的这类题目链接发给我可以吗？我要恶补。。。还有，b=3/2是怎么看出来的？我看到一种解法，有点不明白，现在没时间了，中午或者晚上发给你瞧瞧。谢谢kk

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kuing

5^#

发表于 2017-3-19 13:57 | 只看该作者

回复 4# lrh2006

随便搜了下：
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=3694
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4437
http://kuing.orzweb.net/redirect ... =4245&pid=19055 （11楼）
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4081

还有我曾经玩公众号时撸的一篇：http://mp.weixin.qq.com/s/RAv2GPNvM_WU1hrwdeNXRA（此号已废，不必再关注）

《撸题集》里应该还有些，懒得翻了……

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其妙

6^#

发表于 2017-3-19 17:21 | 只看该作者

来一个变式题：

妙不可言，不明其妙，不着一字，各释其妙！

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lrh2006

7^#

发表于 2017-3-19 18:21 | 只看该作者

本帖最后由 lrh2006 于 2017-3-21 16:17 编辑

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谢谢两位。我这里有一种解法，第一条式子看不懂，可否解释下，
为何g(x)max-g(x)min>=2m
谁能给我解释下为什么有这条式子啊？

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kuing

8^#

发表于 2017-3-19 21:01 | 只看该作者

来一个变式题：

其妙发表于 2017-3-19 17:21

既然 $a$, $b\inR$，为什么不简化一下 $f(x)$，改成 $\left|\dfrac1x-ax-b\right|$ 不是更好看么，反正一样。

这变式比1楼的好些，至少不单调，不过还是很简单且没新意。
\begin{align*}
6M(a,b)&\geqslant 2f\left( \frac12 \right)+3f(1)+f(2) \\
& =\abs{5-a-2b}+\abs{6-3a-3b}+\left| \frac52-2a-b \right| \\
& \geqslant \left| 5-a-2b-(6-3a-3b)+\frac52-2a-b \right| \\
& =\frac32,
\end{align*}
得 $M(a,b)\geqslant1/4$，当 $a=0$, $b=9/4$ 取等。

$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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其妙