本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-14 13:37 编辑
平面上有10个互异的点,任意5点中至少有4点共圆,问点最多的圆周上最少有几个点?
首先证明有5点共圆.如若不然,则5点组共有$C_{10}^5=252$个,每个5点组中有4点共圆.这4点属于6个5点组,于是圆的个数≥$\frac{252}{6}$=42个.这42个不同的圆上总共应有42x4=168点,但实际只有10点.因而,至少有一点A属于$\lceil\dfrac{168-1}{10}\rceil$=17个圆周.这17个圆周上另有17×3=51个点,余下9点,至少还有一点B属于$\lceil\dfrac{51-1}{9}\rceil$=6个圆周.这有两个公共点的6个圆周上另有6×2=12个点,余下8点,至少还有一点B属于$\lceil\dfrac{12-1}{8}\rceil$=2个圆周.这两个圆周有三个公共点,矛盾.
其次证明前面所得出的至少有5点所在的这个圆周上至少有9点.记五点A,B,C,D,E共圆周c.如果结论不真,则记不在C上的两点为H,K.因{A,B,C,H,K}中有4点共圆,而H,K均不在c上, 因而可设A,B,H,K共圆d,C,D,E均不在d上.因{C,D,E,H,K}中有4点共圆,而H,K均不在c上,故可设C,D,H,K共圆e上,而E不在e上. 于是,考查{A,C,E,H,K}中任何4点共圆上均导致矛盾.故在e之外,至多有1只鸟.即有鸟最多的一个圆周上至少有9只鸟. |