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[组合] 昨晚人教群T35发的小学奥数

爱好者-Tesla35(3705*****)  21:25:14
有一个由 9 个小正方形组成的大正方形,将其中两个涂黑,有多少种不同的涂法?(如果几个涂法能够由旋转而重合,这几个涂法只能看做是一种,比如下面四个图,就只能算一种涂法。)
QQ截图20131018111330.gif
2013-10-18 11:16

大家看看~
小学奥数
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$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

昨晚临时学了一下解决这类问题的 Burnside 定理和 Polya 定理,两者长处不同,这里是前者适用。
设 $f$ 表示旋转 $90\du$(顺时针,下同),$f^k$ 表示旋转 $k\cdot90\du$, $k=0$, $1$, $2$, $3$。
不考虑旋转时,所有涂色方法总数为 $C_9^2=36$,下面计算考虑旋转时的“不动点”个数。
对于 $f^0$,全部不动,共 $36$;
对于 $f^1$,显然没有不动点;
对于 $f^2$,有 4 个不动点,分别是涂对角的有两个,涂对边中间的也是两个;
对于 $f^3$,同 $f^1$。
因此所求的涂色方法数为 $(36+4)/4=10$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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情况不多,用列举法即可。
把9个正方形分为3类:4个角,4个边,1个中心,
2个角:2种;
2个边:2种;
1个中心1个角:1种;
1个中心1个边:1种;
1个角1个边:4种。
一共10种

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本帖最后由 hbghlyj 于 2022-2-20 15:11 编辑 我把2#的$f^2$的4个不动点写出来:

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回复 2# kuing

强。这是变换群之类的知识?

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