kuing

突然灵感一来想到一个菊部。

令 $f(x)=(1+x)^{1+1/x}$, $x>0$，经过一番计算，可得其二阶导数为
\[f''(x)=(1+x)^{1+1/x}\cdot\frac{(1+x)\ln^2(1+x)-x^2}{x^4},\]
易证对任意 $x>0$ 恒有
\[\ln(1+x)<\frac x{\sqrt{1+x}}\riff f''(x)<0,\]
即 $f(x)$ 为上凸函数，因此它必恒不大于它的任一条切线，经过计算可知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=4(1-\ln 2)(x-1)+4$，因此我们有
\[(1+x)^{1+1/x}\leqslant 4(1-\ln 2)(x-1)+4,\]
两边除以 $1+x$ 整理即得如下菊部不等式
\[(1+x)^{1/x}\leqslant 4(2\ln 2-1)\cdot \frac1{1+x}+4(1-\ln 2),\]
作置换 $x\to1/x$，也有
\[\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant 4(2\ln 2-1)\cdot \frac x{1+x}+4(1-\ln 2),\]
两式相加，即得
\[(1+x)^{1/x}+\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant 4(2\ln 2-1)+8(1-\ln 2)=4.\]

kuing

4楼第一步有笔误，二阶导数那里第一项的指数里没有 1+ ，即应该改为：
\[f''(x)=(1+x)^{1/x}\cdot\frac{(1+x)\ln^2(1+x)-x^2}{x^4},\]
后面不用改。
（感谢网友 TSC999 的指出）