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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 求一个函数最值 $(1+\frac1x)^x+(1+x)^{\frac1x}$
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等待hxh
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发表于 2017-3-4 16:33
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[函数]
求一个函数最值 $(1+\frac1x)^x+(1+x)^{\frac1x}$
2017-3-4 16:32
答案都知道是4,缺少严格的证明
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realnumber
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发表于 2017-3-7 10:45
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只看该作者
本帖最后由 realnumber 于 2017-3-7 10:51 编辑
$g(x)=g(\frac{1}{x})$,只需要考虑$x\ge1$或$0<x\le 1$
导数好复杂,没找到头绪...
觉得会不会把伯努利不等式推广下?比如展开保留更多的项?x=1要取等,展开的话,也该在x=1处
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realnumber
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发表于 2017-3-7 14:10
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只看该作者
2017-3-7 14:07
试着切线法,用了2个数据简单的,都失败了
$g(x)\le s(x),g(x)\le r(x)$,但放缩过度,x=1处,s(x),r(x)变最小值了
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kuing
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发表于 2017-3-8 00:49
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突然灵感一来想到一个菊部。
令 $f(x)=(1+x)^{1+1/x}$, $x>0$,经过一番计算,可得其二阶导数为
\[f''(x)=(1+x)^{1+1/x}\cdot\frac{(1+x)\ln^2(1+x)-x^2}{x^4},\]
易证对任意 $x>0$ 恒有
\[\ln(1+x)<\frac x{\sqrt{1+x}}\riff f''(x)<0,\]
即 $f(x)$ 为上凸函数,因此它必恒不大于它的任一条切线,经过计算可知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=4(1-\ln 2)(x-1)+4$,因此我们有
\[(1+x)^{1+1/x}\leqslant 4(1-\ln 2)(x-1)+4,\]
两边除以 $1+x$ 整理即得如下菊部不等式
\[(1+x)^{1/x}\leqslant 4(2\ln 2-1)\cdot \frac1{1+x}+4(1-\ln 2),\]
作置换 $x\to1/x$,也有
\[\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant 4(2\ln 2-1)\cdot \frac x{1+x}+4(1-\ln 2),\]
两式相加,即得
\[(1+x)^{1/x}+\left( 1+\frac1x \right)^x\leqslant 4(2\ln 2-1)+8(1-\ln 2)=4.\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2017-3-8 09:41
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学习了,不愧是大神kuing,可否看下我那个极值点偏移问题,和以往的极值偏移有些不一样,谢谢!
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力工
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发表于 2017-3-9 20:33
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kuing
Orz,太漂亮了!
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发表于 2018-10-1 11:11
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4楼第一步有笔误,二阶导数那里第一项的指数里没有 1+ ,即应该改为:
\[f''(x)=(1+x)^{1/x}\cdot\frac{(1+x)\ln^2(1+x)-x^2}{x^4},\]
后面不用改。
(感谢网友 TSC999 的指出)
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敬畏数学
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发表于 2018-10-1 11:36
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kuing
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