关于Huber估计的一个积分的不等式

血狼王

证明：
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \min(x^2,k^2) dx\leq 1-e^{-k^2}.$$

血狼王

这是稳健估计理论中Huber估计的回归因子
若有不懂，请自查文献

战巡

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\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\min(x^2,k^2)dx=E(\min(X^2,k^2))\]
其中$X\sim N(0,1)$，若令$Y=X^2\sim \chi^2(1)$，则其也等于
\[E(\min(Y,k^2))\]
令$Z\sim\chi^2(1)$且与$Y$独立，令$W=Y+Z$，则有
\[2E(\min(Y,k^2))=E(\min(Y,k^2))+E(\min(Z,k^2))=E(\min(W,2k^2)|Y>k^2,Z>k^2)\]
\[\le E(\min(W,2k^2)|Y>k^2,Z>k^2)+E(\min(W,2k^2)|Y\le k^2,Z>k^2)+E(\min(W,2k^2)|Y>k^2,Z\le k^2)\]
\[=E(\min(W,2k^2))\]
显然$W=Y+Z\sim\chi^2(2)$，可知
\[E(\min(W,2k^2))=\int_{0}^{2k^2}\frac{e^{-\frac{w}{2}}}{2}wdw+\int_{2k^2}^{+\infty}k^2e^{-\frac{w}{2}}dw=2(1-e^{-k^2})\]
下略...

血狼王

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