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[几何] 福建卷的文科第21题 之 几何面积最值

记得有一年,福建卷,看上去就像少一页似的,不过,有时候福建卷数学题还是值得看一下。

今年文科倒数第二题 是一面积最值,几何题。

原参考答案是三角函数法,无可厚非,不过,那个化简,在学生的角度,大多数是“怕”的吧,不多话,上题

原题

如图(见附件,原题中的图),在等腰直角三角形$\triangle OPQ$中,$\angle POQ=45^\circ$,$OP=2\sqrt 2$,点$M$在线段$PQ$上.
(1)若$OM=\sqrt 5$,求$PM$的长;
(2)若点$N$在线段$MQ$上,且$\angle MON=30^\circ$,问:当$\angle POM$取何值时,$\triangle OMN$的面积最小?并求出面积的最小值.
2013fjwk-t21.png
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$\angle MON=45^\circ$时有个美妙的勾股结论

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回复 2# 其妙

那个叫FAQ,很F那种……
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话说这是中考题还是高考题?
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应该是中考吧,但是大概也用不上三角?我说的是第二问,如图
QQ截图20130630232441.png
2013-6-30 23:24

要面积最小,只要 $MN$ 最小,我们将证明当 $PM=NQ$ 时取小(较粗的线),为此,另取一种情况 $M'N'$,则只要证明 $M'N'>MN$,即 $NN'>MM'$,注意到 $\angle MOM'=\angle NON'$, $OM=ON$,于是……这太显然,我就不写了,你们随便证,反正初中的东东,不用三角……
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本帖最后由 isee 于 2013-7-1 00:25 编辑
话说这是中考题还是高考题?
kuing 发表于 2013-6-30 23:11



2013高考,文科倒数第二题,
http://www.eeafj.cn/ffcms/syzxzx/3244.jhtml            
链接一:2013年福建省普通高考各学科试题、参考答案   
108 m 巨大 第24页

如果 仅想看看原数学卷:http://edu.qq.com/a/20130609/011685.htm#p=3





纯几何法简洁极了,(多了解点纯几何知识没什么不好),就是你说写的。



这就叫会者不难,难者不会……

楼下写个代数法,我来,呵呵

官方答案

2013fjwk-t21bd.png

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OMG!...
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本帖最后由 isee 于 2013-7-1 01:36 编辑

代数+基本不等式

t.png
2013-7-1 01:06



(1) 在$\triangle OMP$ 中,注意$\angle P=45 ^\circ$,用余弦定理即得结果:1或3;

(2)如图标记各线段字母,作$OH \perp PQ$于$H$,记$\triangle OMN$的面积为$S$,则

\begin{align}
  S=\dfrac 12 ab \sin 30^\circ&=\dfrac 14 ab\notag\\
  \therefore ab&=4S\label{eq01}\\[1ex]
  S=\dfrac 12 t \cdot OH&=t\label{eq02}\\
  t^2=a^2+b^2-2ab\cos30^\circ&\ge 2ab-\sqrt3 ab\label{eq03}
\end{align}

将\eqref{eq01},\eqref{eq02}中的$ab,t$用$S$表示,代入\eqref{eq03},有

\begin{align*}
S^2&\ge 8S -4\sqrt3 S\\
S&\ge 8 -4\sqrt3
\end{align*}

当$a=b$时取等号……

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本帖最后由 isee 于 2013-7-1 01:28 编辑
应该是中考吧,但是大概也用不上三角?我说的是第二问,如图

要面积最小,只要 $MN$ 最小,我们将证明当 $ ...
kuing 发表于 2013-6-30 23:27


我最喜欢这个了。


不过,话说回来,如果对平几不熟悉,又猜不到$OM=ON$时取最小值话,这个纯几证明还是有一定难度的





============


OMG!...
kuing 发表于 2013-7-1 00:45



其实,(标答)分母直接积化和差就是最后一步了,可惜,不要求,新课标。

$\sin (45^\circ+\alpha)\sin(75^\circ+\alpha)=-\dfrac 12(\cos(120^\circ+2\alpha)-\cos(-30^\circ)),\cdots $

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本帖最后由 isee 于 2014-3-4 21:15 编辑
$\angle MON=45^\circ$时有个美妙的勾股结论
其妙 发表于 2013-6-30 22:16



    补成正方形后,才叫真的美^

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回复 8# isee

eps图真大,可以的话,为节约空间,删去吧。
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回复  isee

eps图真大,可以的话,为节约空间,删去吧。
kuing 发表于 2013-7-1 01:31


    删了

    版面太大,主要是





   太可怜了,话说,这其实很小很小

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QQ图片20130629191614.jpg
2013-7-1 22:18

建立坐标系, 设$OM=a$,$ON=b$,$\angle POM=\alpha$,$\angle PON=\alpha+\dfrac{\pi}6$
$M(a\cos \alpha$,$a\sin\alpha) $,$N(b\cos( \alpha+\dfrac{\pi}6) $,$b\sin(\alpha+\dfrac{\pi}6)) $,代入直线$PQ$方程:$x+y=2\sqrt2$,得$a\sin( \alpha+45^0)=2$,$b\sin( \alpha+75^0)=2$,故$ab\sin( \alpha+45^0) \sin( \alpha+75^0)=4$
但是,$S=\dfrac12ab\sin30^0=\dfrac14ab$,故$S=\dfrac{1 }{\sin( \alpha+45^0) \sin( \alpha+75^0)} $,以下同标准解法,或者积化和差可做了。

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回复 13# 其妙
                                                         
QQ图片20130629191614.jpg
2013-7-1 22:41

方法二:显然$\triangle OPQ$的高$OH=2$,设$\angle MOH=\theta$(可以小于$0$),$\angle NOH=\varphi $(可以小于$0$),
故$\theta+\varphi=\dfrac{\pi}6$,于是$OM=\dfrac2{\cos\theta} $,$ON=\dfrac2{\cos\varphi}$,$S=\dfrac12OM\cdot ON \sin30^0=\dfrac{1 }{\cos\theta\cos\varphi }$。
而$2\cos\theta\cos\varphi=\cos(\theta+\varphi) +\cos(\theta-\varphi)\leqslant\cos(\theta+\varphi) +1=\dfrac{\sqrt3+2}2$,
故$S=\dfrac{2 }{2\cos\theta\cos\varphi }\geqslant\dfrac{4}{\sqrt3+2}= 8-4\sqrt3$,
当且仅当$\cos(\theta-\varphi)=1$,即$\theta=\varphi$取等号,此时$\angle POM=\dfrac{\pi}6$。

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回复  其妙
                                                         
方法二:显然$\triangle OPQ$的 ...
其妙 发表于 2013-7-1 22:42



    好,成一题多解了

PS:\sin 30^\circ 才是$\sin 30^\circ$ 规范输入;不过,自己打命令比复制已经进步多了

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回复 15# isee
其实我是知道那个圆圈的打法的,想了一下,也不必太追究现实效果的完美了

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回复 16# 其妙


    你和我,都有强迫症

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回复 14# 其妙
方法三:,同法二,用14楼的图,$MH=2\tan\theta$,$NH=2\tan\varphi$,$S=\dfrac12MN\cdot OH=MN$,
故$S=MN =2(\tan\theta+\tan\varphi)= 2[\tan\theta+\tan(30^0-\theta)]= 2(\tan\theta+\dfrac{\dfrac{ \sqrt3}3-\tan\theta }{1+\dfrac{\sqrt3}3\tan\theta })=2(\tan\theta+\dfrac{1-\sqrt3\tan\theta }{\sqrt3+\tan\theta})$,
令$u=\sqrt3+\tan \theta$,则$S=2(u-\sqrt3+\dfrac{1-\sqrt3 (u-\sqrt3)}{u}=2(u+\dfrac4u)-4\sqrt3\geqslant8-4\sqrt3$,
当且仅当$u=\sqrt3+\tan \theta=2$,即$\tan \theta=2-\sqrt3$,$\theta=15^0$,$\angle POM=\dfrac{\pi}6$时,$S$取得最大值$8-4\sqrt3$。

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回复 17# isee
,很感谢你,向你学会了word里的那个aurora

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不是给了简打 \du 么……
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