[函数] 函数零点问题

敬畏数学

证明：若a＞1/e，函数f(x)=ax^2-(a+1)xlnx+(a+1)x-1只有一个零点。

realnumber

导数》0就可以了啊，f(1)>0,x足够小,f(x)<0

敬畏数学

“”x足够小,f(x)<0”这样的话估计不会被采纳！谢谢。。。。
看能否放缩下，我没有想出啊！

isee

嘿嘿，刚才方向反了，重来。。。。

敬畏数学

回复 4# isee
坐在凳子上，耐心地等。。。。。

敬畏数学

回复 1# 敬畏数学
高手帮忙看看。。。。

kuing

$a$ 的范围显然还可以放宽些，至少可以放宽到 $a\geqslant 1/(2e-1)$（这还不是最佳的）。

证明：当 $a\geqslant 1/(2e-1)$ 时
\[f'(x)=2ax-(a+1)\ln x=(a+1)\left( \frac{2x}{1+\frac1a}-\ln x \right)\geqslant (a+1)\left( \frac xe-\ln x \right),\]
非常容易证明 $x/e\geqslant \ln x$，所以 $f'(x)\geqslant 0$，等号成立当且仅当 $a=1/(2e-1)$ 且 $x=e$，所以 $f(x)$ 是严格递增的。

显然 $f(1)=2a>0$，所以剩下只需找到一个负的点即可。

不难证明当 $x>0$ 时恒有 $e^x>x^2$，则
\[
f\left( \frac1{e^{a+2}} \right)
=\frac a{(e^{a+2})^2}+\frac{(a+1)(a+3)}{e^{a+2}}-1
<\frac a{(a+2)^4}+\frac{(a+1)(a+3)}{(a+2)^2}-1
=\frac{a-(a+2)^2}{(a+2)^4}<0,
\]
即得证。

PS、其实直接上极限算 $\lim_{x\to0}f(x)$ 才是最好的方法，非要投机取巧来绕过去其实没什么意思要不是最近闲得蛋疼我才懒得去想……

isee

$a$ 的范围显然还可以放宽些，至少可以放宽到 $a\geqslant 1/(2e-1)$（这还不是最佳的）。

证明：当 $a\ge ...
kuing 发表于 2016-12-16 00:47

高考导向，没办法，也是高中不学极限的导数的短腿。

敬畏数学

确实这样折腾太复杂。找那个负值不一般啊！哎。。。

realnumber

\[ax^2<\frac{1}{3}\Leftrightarrow  x<\sqrt{\frac{1}{3a}}\]
\[(a+1)x<\frac{1}{3}\Leftrightarrow x<\frac{1}{3(a+1)}\]
\[-(a+1)x\ln{x}=(a+1)x\ln{1+\frac{1-x}{x}}<(a+1)(1-x)<\frac{1}{3}\Leftrightarrow x>?\]
最后一行在x=1处放缩，过大，不成功，所以修改在更小的地方$x=\frac{1}{e}$处放缩，并且注意到了次数问题
重新修改为：
\[\ln{\frac{1}{x}}=2\ln{\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\ln{(1+\frac{1-\sqrt{ex}}{\sqrt{ex}}})+1<\frac{2}{\sqrt{ex}}-1<\frac{2}{\sqrt{ex}}\]
上一行原本计算有错误，经黄jf老师指出已经修改，
\[-(a+1)x\ln{x}=(a+1)x\ln{\frac{1}{x}}<\frac{2(a+1)\sqrt{x}}{\sqrt{e}}<\frac{1}{3} \Leftrightarrow   x<\frac{e^2(a+1)^2}{36}\]
所以当0<x<min{$\sqrt{\frac{1}{3a}},\frac{1}{3(a+1)},\frac{e^2(a+1)^2}{36},\frac{1}{e}$},就能够使得前三项都小于$\frac{1}{3}$.

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回复 10# realnumber
wonderful!!!

realnumber

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证明极限过程找ε-N就这个.

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回复 12# realnumber squeshi
  确实这样。有点这个意思。所以这样题有点坑人。尤其是当下。

陈习晖

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2016-12-20 22:32

陈习晖

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2016-12-20 22:35

陈习晖

通过作图软件可知：x0在（5,6）之间，所以a>1/5也可以

敬畏数学

回复 16# 陈习晖
与2楼相似啊!哎。。。。实在不行就这样诶。。。

kuing

回复 17# 敬畏数学

相似在何处？

realnumber

修正了10楼原本的一个计算错误.