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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 帮忙求一下这两个定积分
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xianjiansyy
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发表于 2016-12-13 20:24
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帮忙求一下这两个定积分
2016-12-13 20:24
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kuing
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发表于 2016-12-13 20:42
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第一个
\begin{align*}
\int\frac x{\sin^2x}\rmd x&=-\int x\rmd(\cot x) \\
& =-x\cot x+\int\cot x\rmd x \\
& =-x\cot x+\int\frac1{\sin x}\rmd(\sin x) \\
& =-x\cot x+\ln \abs{\sin x}
\end{align*}
第二个简单还是自己来吧
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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敬畏数学
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发表于 2016-12-13 21:17
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xianjiansyy
这是哪里的?
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发表于 2016-12-13 22:52
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应该是大学基础课的作业啊。
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青青子衿
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发表于 2018-8-29 18:57
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第二题:
利用这个式子:
\[ \int_1^x \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t=x\big|\,\ln x\,\big|-(x-1){\rm sgn}(\ln x)+1\qquad(x\ne 0)\]
\begin{align*}
\int_{1/e}^e \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t
&=\int_1^e \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t+\int_{1/e}^1 \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t\\
&=\int_1^e \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t-\int_1^{1/e} \big|\,\ln t\,\big|{\rm d}t\\
&=e\big|\,\ln e\,\big|-(e-1){\rm sgn}(\ln e)+1-\frac{\big|\,\ln\frac{1}{e}\,\big|}{e}+(\frac{1}{e}-1){\rm sgn}\left(\ln\frac{1}{e}\right)-1\\
&=e-(e-1)-\frac{1}{e}+(1-\frac{1}{e})=2-\frac{2}{e}
\end{align*}
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