[数论] a和2，5互质，求证a的冪次方结尾

ta5607

a和2与5互质，试证：
对于任意n会有一个a的冪次以\(\underbrace{000...01}_{n}\)结束

目前我的想法是
假设有\(10^{n}\)个项\(a,a^{2},a^{3}...a^{10^{n}}\)
然后以\(10^{n}\)模
就会有\(10^{n}-1\)种余数....



下面省略
请问我这个想法对吗 ?
除了这个作法外，还有其他的做法吗 ?  感恩

realnumber

这个想法有漏洞，比如a=3,n=1
$3,3^2,3^3,...,3^{10}$mod10下余数是3,9,7,1,不是9个，仅4个，但结尾符合要求的有..
余数中没有偶数，显然也没有5的倍数

tommywong

$a^{\varphi(10^n)}\equiv 1\pmod{10^n}$

ta5607

回复 3# tommywong

有完整做法嗎 ?

isee

回复  tommywong

有完整做法嗎 ?
ta5607 发表于 2016-11-28 20:41

就是欧拉定理（数论中的），自己解决吧，任意讲数论书上均有。

3楼 tommywong 其它已经算是具体过程了。再细就是对欧公式的证明了，这个，会涉及预备内容太多。