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[数论] 来自人教群的一道小数部分恒等式题

QQ截图20131015003254.gif
2013-10-15 00:33

以下所设变量全在整数范围内取值。

先证明,对于任意满足 $0\leqslant k<p<n$ 的 $k$, $p$,恒有
\[\left\{ \frac{ka+b}n \right\}\ne \left\{ \frac{pa+b}n \right\},\]
用反证法,假设上式两边相等,则必存在 $m$ 使
\[\frac{pa+b}n=\frac{ka+b}n+m,\]

\[(p-k)a=mn,\]
由于 $(a,n)=1$,则必有 $n\mid(p-k)$,这显然与 $0\leqslant k<p<n$ 矛盾。

接下来,我们考查以下 $n$ 个数
\[\left\{ \frac bn \right\},\left\{ \frac{a+b}n \right\},\left\{ \frac{2a+b}n \right\},\ldots,\left\{ \frac{(n-1)a+b}n \right\},\]
显然,它们每一个的值都属于集合 $\{0,1/n,2/n,\ldots,(n-1)/n\}$,而由前面所证的可知,它们的值全不相同,所以它们跟该集合里的元素一一对应,所以
\[\left\{ \frac bn \right\}+\left\{ \frac{a+b}n \right\}+\left\{ \frac{2a+b}n \right\}+\cdots +\left\{ \frac{(n-1)a+b}n \right\}=0+\frac1n+\frac2n+\cdots +\frac{n-1}n=\frac{n-1}2.\]
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$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

a与n互质,则b,a+b,2a+b,……,(n-1)a+b就是n的完全剩余系。
这个定理直接拿来用就行了

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回复 2# 地狱的死灵

不太了解这些概念和定理,只能即想即推即用了……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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嘿嘿,kuing很好很强大,就是有点麻烦。2楼正解!

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回复 4# 南飞雁2013
人家能独立的把这个定理再发现并证明一遍,
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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