繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 来自人教群的一道小数部分恒等式题
返回列表
发帖
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2013-10-15 00:50
|
只看该作者
[数论]
来自人教群的一道小数部分恒等式题
2013-10-15 00:33
以下所设变量全在整数范围内取值。
先证明,对于任意满足 $0\leqslant k<p<n$ 的 $k$, $p$,恒有
\[\left\{ \frac{ka+b}n \right\}\ne \left\{ \frac{pa+b}n \right\},\]
用反证法,假设上式两边相等,则必存在 $m$ 使
\[\frac{pa+b}n=\frac{ka+b}n+m,\]
即
\[(p-k)a=mn,\]
由于 $(a,n)=1$,则必有 $n\mid(p-k)$,这显然与 $0\leqslant k<p<n$ 矛盾。
接下来,我们考查以下 $n$ 个数
\[\left\{ \frac bn \right\},\left\{ \frac{a+b}n \right\},\left\{ \frac{2a+b}n \right\},\ldots,\left\{ \frac{(n-1)a+b}n \right\},\]
显然,它们每一个的值都属于集合 $\{0,1/n,2/n,\ldots,(n-1)/n\}$,而由前面所证的可知,它们的值全不相同,所以它们跟该集合里的元素一一对应,所以
\[\left\{ \frac bn \right\}+\left\{ \frac{a+b}n \right\}+\left\{ \frac{2a+b}n \right\}+\cdots +\left\{ \frac{(n-1)a+b}n \right\}=0+\frac1n+\frac2n+\cdots +\frac{n-1}n=\frac{n-1}2.\]
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
地狱的死灵
发短消息
加为好友
地狱的死灵
当前离线
UID
13
帖子
23
主题
1
精华
0
积分
319
威望
0
阅读权限
50
在线时间
407 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2016-1-12
2
#
发表于 2013-10-15 01:39
|
只看该作者
a与n互质,则b,a+b,2a+b,……,(n-1)a+b就是n的完全剩余系。
这个定理直接拿来用就行了
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
3
#
发表于 2013-10-15 01:57
|
只看该作者
回复
2#
地狱的死灵
不太了解这些概念和定理,只能即想即推即用了……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
南飞雁2013
发短消息
加为好友
南飞雁2013
当前离线
UID
17
帖子
2
主题
0
精华
0
积分
10
威望
0
阅读权限
10
在线时间
0 小时
注册时间
2013-6-15
最后登录
2016-1-4
4
#
发表于 2013-10-15 07:50
|
只看该作者
嘿嘿,kuing很好很强大,就是有点麻烦。2楼正解!
TOP
其妙
发短消息
加为好友
其妙
当前离线
UID
38
帖子
2386
主题
95
精华
0
积分
12885
威望
4
阅读权限
90
在线时间
1110 小时
注册时间
2013-6-22
最后登录
2022-2-10
5
#
发表于 2013-10-15 21:42
|
只看该作者
回复
4#
南飞雁2013
人家能独立的把这个定理再发现并证明一遍,
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]