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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 求\(y=2(cosx)^2+(sinx+cosx)^2-sin2x\times cos2x\)的範圍
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ta5607
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发表于 2016-10-19 06:09
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[数论]
求\(y=2(cosx)^2+(sinx+cosx)^2-sin2x\times cos2x\)的範圍
\(y=2(cosx)^2+(sinx+cosx)^2-sin2x\times cos2x\)
\(0\leq x \leq \pi\)
求y的最大值&最小值
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发表于 2016-10-19 08:28
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ta5607
貌似很简单哦。平方式展开。一下就变成sinx+cosx,及sinx*cosx的形式。
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kuing
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发表于 2016-10-19 14:08
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嗯,是简单题
\[y=1+\cos2x+1+\sin2x-\sin2x\cos2x=3-(1-\sin2x)(1-\cos2x),\]
所以 $y\leqslant3$,当 $x=0$, $\pi/4$, $\pi$ 时均能取等;另一方面,由均值有
\[y\geqslant3-\frac{(2-\sin2x-\cos2x)^2}4\geqslant3-\frac{\bigl(2+\sqrt2\bigr)^2}4=\frac32-\sqrt2,\]
当 $x=5\pi/8$ 时取等。
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