比较简单的不等式

icesheep

$0 < x < 1,0 < y < \infty$ 证明：\[y{x^y}\left( {1 - x} \right) < \frac{1}{e}\]

应该是有 \[{x^y}\left( {1 - x} \right) \leqslant {\left( {\frac{y}{{y + 1}}} \right)^y}\frac{1}{{y + 1}}\]

然后由 ${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^x}$ 单调性即可，不过上面那个不等式怎么来的 =。=

icesheep

真是老了老了，这个均值都想半天，沉了吧

\[\frac{x}{{y + 1}} + \frac{{1 - x}}{{y + 1}} \geqslant {\left( {\frac{x}{y}} \right)^{\frac{y}{{y + 1}}}}{\left( {1 - x} \right)^{\frac{1}{{y + 1}}}}\]

kuing

居然和一年前秋风问的题一样 http://kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=838