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[数列] 求数列:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……的通项

本帖最后由 isee 于 2016-9-30 23:32 编辑

老论坛的老帖转载过来。

题目:

求通项公式:
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……
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答(by kuing):

$$a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil.$$

想法很简单,构造一个函数,使得对应每串相同数的最后一个位置,而且单增,然后再向上取整就行了。

具体地,记最后一个$k$在该数列中的第$f(k)$项中,那么$f(1)=1,f(2)=3,f(3)=6$等等,容易求出$$f(k)=\frac{k(k+1)}{2},$$

故我们要构造的是使 $a_{k(k+1)/2}=k$的单增函数(数列),令 $n=k(k+1)/2$,反解出$$k=\frac{\pm\sqrt{8n+1}-1}{2},$$


显然应取正者,然后向上取整,即得$$a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil.$$

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老帖二楼的内容就不转了,不过,进一步可以得到在$$\left[\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2},\frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right].$$

内必有惟一整数存在。

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此方法可以解决,2003年全国卷压轴题
2003.png

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回复 4# isee


    怎么用啊?

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应该可以用三角函数或虚数表示准确的通项

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本帖最后由 青青子衿 于 2020-10-16 19:47 编辑
  1. Table[Floor[Sqrt[2 i] + 1/2], {i, 10}]
  2. Table[Ceiling[(Sqrt[1 + 8 i] - 1)/2], {i, 10}]
复制代码
Mark一下
http://oeis.org/A002024

数列「1,2,2,3,3,3,...」的通项公式是什么?
https://www.zhihu.com/question/25045244/answer/1140740921

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