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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 求数列:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……的通项
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发表于 2016-9-28 16:33
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只看该作者
[数列]
求数列:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……的通项
本帖最后由 isee 于 2016-9-30 23:32 编辑
将
老论坛的老帖转载
过来。
题目:
求通项公式:
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,……
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发表于 2016-9-28 16:38
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只看该作者
答(by kuing):
$$a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil.$$
想法很简单,构造一个函数,使得对应每串相同数的最后一个位置,而且单增,然后再向上取整就行了。
具体地,记最后一个$k$在该数列中的第$f(k)$项中,那么$f(1)=1,f(2)=3,f(3)=6$等等,容易求出$$f(k)=\frac{k(k+1)}{2},$$
故我们要构造的是使 $a_{k(k+1)/2}=k$的单增函数(数列),令 $n=k(k+1)/2$,反解出$$k=\frac{\pm\sqrt{8n+1}-1}{2},$$
显然应取正者,然后向上取整,即得$$a_{n}=\left\lceil \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rceil.$$
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发表于 2016-9-28 16:43
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只看该作者
老帖二楼的内容就不转了,不过,进一步可以得到在$$\left[\frac{\sqrt{8n+1}-1}{2},\frac{\sqrt{8n-7}+1}{2}\right].$$
内必有惟一整数存在。
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发表于 2016-9-28 17:19
|
只看该作者
此方法可以解决,2003年全国卷压轴题
2003.png
(17.79 KB)
下载次数:1093
2016-9-28 17:19
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天音
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发表于 2016-10-3 14:08
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只看该作者
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4#
isee
怎么用啊?
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三尺水
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发表于 2016-11-12 09:07
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只看该作者
应该可以用三角函数或虚数表示准确的通项
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青青子衿
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发表于 2019-6-17 10:10
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只看该作者
本帖最后由 青青子衿 于 2020-10-16 19:47 编辑
Table[Floor[Sqrt[2 i] + 1/2], {i, 10}]
Table[Ceiling[(Sqrt[1 + 8 i] - 1)/2], {i, 10}]
复制代码
Mark一下
http://oeis.org/A002024
数列「1,2,2,3,3,3,...」的通项公式是什么?
https://www.zhihu.com/question/25045244/answer/1140740921
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