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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» x,y为任意实数,求cos(x^2)+cos(y^2)-cos(xy)的值域
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天音
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发表于 2016-9-26 00:18
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[函数]
x,y为任意实数,求cos(x^2)+cos(y^2)-cos(xy)的值域
如题
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发表于 2016-10-3 14:12
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只看该作者
顶下,有人吗
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kuing
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发表于 2016-10-14 00:49
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只看该作者
捡个漏,原来还算简单……
记 $f(x,y)=\cos(x^2)+\cos(y^2)-\cos(xy)$。
假设 $f(x,y)=3$,由有界性知只能是 $\cos(x^2)=\cos(y^2)=-\cos(xy)=1$,
因此 $x^2=2k_1\pi$, $y^2=2k_2\pi$, $xy=(2k_3-1)\pi$,其中 $k_i$ 均为整数,
于是 $4k_1k_2=(2k_3-1)^2$,左偶右奇,矛盾!所以不可能取到 $3$。
类似地,假设 $f(x,y)=-3$,则 $x^2=(2k_1-1)\pi$, $y^2=(2k_2-1)\pi$, $xy=2k_3\pi$,
于是 $(2k_1-1)(2k_2-1)=4k_3^2$,左奇右偶,同样矛盾!所以也不可能取到 $-3$。
因此必有 $-3<f(x,y)<3$,下面证明 $(-3,3)$ 就是其值域,
由于 $f(x,y)$ 为连续函数,则只要找到趋于两边的序列即可。
设 $k\inN^+$,一方面,取 $x=\sqrt{2k\pi}$, $y=\sqrt{2(k+1)\pi}$,则 $\cos(x^2)=\cos(y^2)=1$,且
\[
\cos(xy)=\cos\bigl( 2\sqrt{k(k+1)}\pi-2k\pi \bigr)
=\cos\frac{2k\pi}{\sqrt{k(k+1)}+k}
=\cos\frac{2\pi}{\sqrt{1+\frac1k}+1},
\]
可见
\[
\lim_{k\to+\infty}f(x,y)=2-\lim_{k\to+\infty}\cos\frac{2\pi}{\sqrt{1+\frac1k}+1}=3;
\]
另一方面,取 $x=\sqrt{(2k-1)\pi}$, $y=\sqrt{(2k+1)\pi}$,则 $\cos(x^2)=\cos(y^2)=-1$,且
\[
\cos(xy)=\cos\bigl( \sqrt{4k^2-1}\pi-2k\pi \bigr)=\cos\frac\pi{\sqrt{4k^2-1}+2k},
\]
可见
\[
\lim_{k\to+\infty}f(x,y)=-2-\lim_{k\to+\infty}\cos\frac\pi{\sqrt{4k^2-1}+2k}=-3.
\]
综上所述,$f(x,y)$ 的值域就是 $(-3,3)$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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isee
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发表于 2016-10-14 08:13
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kuing
有意思。。。
有高等来个的么?
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发表于 2016-10-16 21:15
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kuing
看懂了,谢谢!
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敬畏数学
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发表于 2016-10-19 08:30
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只看该作者
此题,很久没有进展。。。。
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kuing
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发表于 2016-10-19 11:36
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此题,很久没有进展。。。。
敬畏数学 发表于 2016-10-19 08:30
?不是已经解决了么
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