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回复  isee
链接是

其实就是看那个判别式的表示,然后结合三次方程求根公式的形式。
$\Delta=\frac{q^2}{ ...
abababa 发表于 2016-9-20 17:21


原来是这个意思啊。。。。

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回复 9# isee
通常方法:要么极小值小于零要么极大值大于零,或者证明极小值与极大值之积为正。算了似乎不可能证出。此题管理员提供的解法应该是最佳的。学习下。

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本帖最后由 isee 于 2016-9-21 18:52 编辑

回复 22# 敬畏数学


    这样可否?

   \begin{align*}
f(x)&=x^3-3x^2+x+2-(kx-2)\\
f'(x)&=3x^2-6x+1-k\\
\Delta&=24+12k
\end{align*}

当 $k\leqslant -2$ 时,$\Delta\leqslant 0,f'(x)>0,f(x)$显然只有一个零点。

当 $-2<k<1$时,$\Delta>0,记 f'(x)=0 $的两根分别为$x_1,x_2(x_1<x_2)$,则

   \begin{align*}x_1+x_2&=2,\\
x_1x_2&=\frac {1-k}3>0\end{align*}

于是 $$0<x_1<x_2<2.$$
此时$f(x)$的极小为.
\begin{align*}
f(x_2)&=x_2^3-3x_2^2+x_2+2-(kx_2-2)\\
&=x_2^3-3x_2^2+(1-k)x_2+4\\
&=x_2^3-3x_2^2+(-3x_2^2+6x_2)x_2+4\\
&=-2x_2^3+3x_2+4\\
&=-(x_2-2)(2x_2^2+x_2+2)\\
&>0
\end{align*}

综上,证毕。

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回复  isee
通常方法:要么极小值小于零要么极大值大于零,或者证明极小值与极大值之积为正。算了似乎不可 ...
敬畏数学 发表于 2016-9-21 08:42

证两根值之积为正是阔以嘀,而且也能得到一般性结论……

设三次函数 $ax^3+bx^2+cx+d$ 的极值的坐标为 $(x,y)$,则有
\[\led
&y=ax^3+bx^2+cx+d,\\
&3ax^2+2bx+c=0,
\endled\]
因为
\[ax^3+bx^2+cx+d=
\left(\frac b{9a}+\frac x3\right)(3ax^2+2bx+c)
+\frac{-2b^2+6ac}{9a}x-\frac{bc}{9a}+d,
\]
所以
\[y=\frac{-2b^2+6ac}{9a}x-\frac{bc}{9a}+d,\]
当 $3ax^2+2bx+c=0$ 有两个不相等实根时 $b^2>3ac$,所以
\[x=\frac{9ad-bc-9ay}{2b^2-6ac},\]
代入 $3ax^2+2bx+c=0$ 中化简最终得到
\[27a^2y^2+(\cdots)y+27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2=0,\]
所以两极值之积为
\[y_1y_2=\frac{27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2}{27a^2},\]
记 $\Delta_3=27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2$,那么三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 只有一个实根当且仅当 $\Delta_3>0$。

回到原题,代入 $a=1$, $b=-3$, $c=1-k$, $d=4$ 即得 $\Delta_3=(1-k)(4k^2+k+211)$。

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证两根值之积为正是阔以嘀,而且也能得到一般性结论……

设三次函数 $ax^3+bx^2+cx+d$ 的极值的坐标为 $( ...
kuing 发表于 2016-9-21 20:32


确实具有一般性,殊途同归于7楼。

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两端同除x,看成二次函数与反比例函数,有无交点,可否?

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回复 26# shidilin


    与分离参变量一个意思,所以,当然可以啦。

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先根据$k$的范围,缩小$x$的范围,再证明在此区间单调递增。

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回复 24# kuing
嗯!正是想要的。

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这方法可以吗?
IMG_20160927_182803.jpg

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这方法可以吗?
陈习晖 发表于 2016-9-27 19:08



    当然可以啦

    不过,今年才知道,此题出处是2014年高考文科数学 全国新课标II卷 第21题。

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回复 31# isee
问题是,那幅图是如何画出来的?大题可以吗?

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本帖最后由 敬畏数学 于 2016-12-13 11:08 编辑

回复 23# isee
刚想了想,你的这个解法应该比较自然!
绝大部分跟你一样,就是当求出极小值函数y=-2x^3+3x^2+4,只要求出极大值点(就是此处的x)的范围,其实由极值为0可以求出,即-3^x2+6x+k-1=0可以求出极大值点为:
x=[6+根号(24+12k)]/6,-2<k<1,得,1<x<2,
最后,变成y=h(x)=-2x^3+3x^2+4,1<x<2,易得h(x)在1<x<2为减函数;y>h(2)=0。证毕#
此题其实是一道常规题。
当然24#给出一般的结论是非常精彩的!!!

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本帖最后由 踏歌而来 于 2016-12-13 17:39 编辑

2楼、17楼、23楼的解答是答题时该优先考虑的,是教材中推荐的解法。

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本帖最后由 敬畏数学 于 2017-1-11 14:24 编辑

回复 30# 陈习晖
30楼的解法,慢慢接受了!总比没有好。其他解法有点难受啊。。。。。

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