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[函数] 证明:当k<1时,曲线y=x^3-3x^2+x+2与y=kx-2有一个交点

证明:当k<1时,曲线y=x^3-3x^2+x+2与y=kx-2有一个交点。求大神帮忙,在此谢谢了。
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通法是用三次方程的判别式,得到的还是充要的,具体就不说了,自己查资料。

非通法可以这样证:
设 $f(x)=x^3-3x^2+x+2-(kx-2)$,则 $f'(x)=3x^2-6x+1-k$。
由 $k<1$ 显然当 $x<0$ 时 $f'(x)>0$,又 $f(0)=4$, $f(-\infty)=-\infty$,所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上有且只有一零点。
另一方面,配方得 $f(x)=(x+1)(x-2)^2+(1-k)x$,再由 $k<1$ 显然当 $x>0$ 时 $f(x)>0$。
综上即得证。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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三次曲线和直线总有交点吧。
$x^3-3x^2+x+2=kx-2$,是三次方程,不管$k$是什么值,根据虚根成对出现可知它总有一个实根,这个实根就是交点。

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回复 3# abababa

O,我将楼主的题意理解成(自动脑补)了只有一个交点(因为他显然是这个意思)……

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回复 4# kuing

不过用判别式的话,应该是下面这样吧:
方程是$x^3-3x^2+(1-k)x+4=0$,令$x=y+1$后方程化为$y^3-(k+2)y+(3-k)$,$\Delta=\frac{1}{4}(3-k)^2+\frac{-(k+2)^3}{27}$,要想只有一个交点就是只有一个实根,需要$\Delta>0$,就是$31k^3-219k^2+777k-697<0$,这个用软件算出一个数值解是$k<1.2698$。

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回复 5# abababa

你计算错了

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回复 6# kuing

确实,$\Delta$应该是$(k-1)(4k^2+k+211)<0$,后面的括号恒正,所以应该$k<1$。

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回复 2# kuing
转得太快有点跟不上!赞。另外有大神把极小值或者极大值分别求出,再证明极小值大于零,极大值小于零。确实难度很大!似乎偶没有看明白。。。呵呵

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回复  kuing
转得太快有点跟不上!赞。另外有大神把极小值或者极大值分别求出,再证明极小值大于零,极大 ...
敬畏数学 发表于 2016-9-18 09:29


三次函数(N型函数)的通常处理方法

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回复 9# isee
常规做法此题似乎无法转出来!有试过吗??

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看下给出的答案也是“非通法”!

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回复 10# 敬畏数学

2楼看不懂吗?

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本帖最后由 isee 于 2016-9-20 13:57 编辑
回复  isee
常规做法此题似乎无法转出来!有试过吗??
敬畏数学 发表于 2016-9-19 15:34


    有可能的,我的确是没有算。带个参数k,不会特别容易。

   
    请发“转不出”的过程,双问号就不必了。

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回复  敬畏数学

2楼看不懂吗?
kuing 发表于 2016-9-19 15:40



    估计是看明白了,但估计不是楼主所期望的“通俗”方法。

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回复  kuing

不过用判别式的话,应该是下面这样吧:
方程是$x^3-3x^2+(1-k)x+4=0$,令$x=y+1$后方程化为$ ...
abababa 发表于 2016-9-17 16:49


三次方程的判别式,学习下,有参考链接或者之类的书砸过来么?

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回复  kuing

确实,$\Delta$应该是$(k-1)(4k^2+k+211)
abababa 发表于 2016-9-17 16:57


数形结合下,过(0,-2)的的切线k=1,正是好分水岭。填空选择可这么
干。

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本帖最后由 isee 于 2016-9-21 18:54 编辑

楼主问问题基本都是从大题里抽出难点。

此题作差后,需要要一定技巧,否则难算(但不意味着一定不能);如果变量分离,也需要分x正负,讨论单调、极值(也能得到结果),是求出k的范围。




这题一般资料上的处理是这样的:http://www.zybang.com/question/8 ... d377af913c401c.html

题目:

已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+2$,曲线$y=f(x)$在$(0,2)$处的切线与$x$轴交点的横坐标为$-2$。
⑴求$a$的值;
⑵证明:当$k<1$时,曲线$y=f(x)$与直线$y=kx-2$只有一个交点.

网络上(可能是标答)解答:
01.jpg
02.jpg

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回复 17# isee

将这个“可能答案”优化一下就和我的一样了,优化点就在后面,既然都独立出了这个 h(x) 来,居然不分解因式,还求导。

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回复  isee

将这个“可能答案”优化一下就和我的一样了,优化点就在后面,既然都独立出了这个 h(x) 来, ...
kuing 发表于 2016-9-20 15:09



    是的,一样。你的数学很敏感。。。。。


   关键就在那个三次方程根为2,我会的方法里都涉及到三次方程的实根只是2.

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回复 15# isee
链接是http://baike.baidu.com/link?url= ... X6uAzJVU3vO-1Axmhaq

其实就是看那个判别式的表示,然后结合三次方程求根公式的形式。
$\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$,然后当$\Delta>0$时,$-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$和$-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$都是实数,且不相等,让$u,v$分别是这两个表达式的一个实数立方根,根据求根公式就得到

\[\begin{cases}
x_1=u+v\\
x_2=\omega u+\omega^2v\\
x_3=\omega^2u+\omega v
\end{cases}\]
这里$\omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$。所以当$\Delta>0$时只有$x_1$是实数,另两个是共轭的复数。

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