回复 6# abababa
原题:在完全四边形$A_1B_1A_2B_2A_3B_3$中,以对角线$A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$为直径作$\odot O_1, \odot O_2, \odot O_3$,则此三圆共根轴,且完全四边形的四个三角形$\triangle A_3B_1B_2, \triangle A_1A_2A_3, \triangle B_3B_2A_1, \triangle A_2B_3B_1$的垂心$H_1,H_2,H_3,H_4$都在此根轴上。
把证明补上:若$\triangle A_1A_2A_3$的垂心为$H$,三条高为$A_1H_1,A_2H_2,A_3H_3$,根据圆幂定理可知:过$A_1,H_1$两点的任意圆,过$A_2,H_2$两点的任意圆,过$A_3,H_3$两点的任意圆,这些圆的根心是$H$。
设$\triangle A_3B_1B_2$的三条高为$B_2P_1, B_1P_3, A_3P_2$,根据垂直与直径可知$P_1,P_2,P_3$分别在三个圆上,于是$\odot O_1,\odot O_2,\odot O_3$即成为过三条高的端点的圆,于是$H_1$是三个圆的根心。
同理可知$H_2,H_3,H_4$也是三个圆的根心,于是三个圆的三条根轴既交于$H_1$也交于$H_2$,因此三条根轴重合,且$H_1H_2H_3H_4$都在其上。 |