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闭区间套定理中,区间长度趋于0是必须的吗?

本帖最后由 abababa 于 2016-7-1 14:22 编辑

如题,如果想用单调有界原理推出闭区间套定理,极限$\lim_{n\to\infty}\abs{b_n-a_n} = 0$是必须的吗?
就是如果只知道对任意的自然数$n$都有$[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$(这里$\supset$不包括等于),能不能不用说区间的长度趋于$0$?我感觉这有点符合直觉,但我不能证明它。我想到的是区间的长度$d_1>d_2>\cdots$,并且所有的$d_i$都是正数,这样$0$就是这个长度数列的一个下界,这个长度数列又单调递减,根据单调有界原理它肯定有一个极限,但这个极限怎么证明它就是$0$呢?
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看起来并不能证明就是0吧

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回复 2# kuing

能不能弄一个反例呢?满足对任意自然数$n$都有$[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$,但是不满足$\lim_{n\to\infty}\abs{b_n-a_n}=0$。

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回复 3# abababa

$a_n=1-1/n$, $b_n=2+1/n$

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回复 4# kuing

原来如此,谢谢。

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是这样,其实有两个版本的闭集套定理。

一个版本利用的是空间紧性,这种情况下不需要 diameter 趋于零,而且因为不用度量结构了,也不需要 diameter 这种概念了;
另一个版本利用的是空间的完备性,这种情况下必须让 diameter 趋于零,
换句话说,如果 diameter 不趋于零就不能得出交集非空(而不是仅仅不能得出交集的元素唯一),这在完备度量空间下是有反例的。

由于实数空间中闭区间是紧的,所以是否抛弃掉 diameter 趋于零这一点无所谓。

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