本帖最后由 abababa 于 2016-7-1 14:22 编辑
如题,如果想用单调有界原理推出闭区间套定理,极限$\lim_{n\to\infty}\abs{b_n-a_n} = 0$是必须的吗?
就是如果只知道对任意的自然数$n$都有$[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$(这里$\supset$不包括等于),能不能不用说区间的长度趋于$0$?我感觉这有点符合直觉,但我不能证明它。我想到的是区间的长度$d_1>d_2>\cdots$,并且所有的$d_i$都是正数,这样$0$就是这个长度数列的一个下界,这个长度数列又单调递减,根据单调有界原理它肯定有一个极限,但这个极限怎么证明它就是$0$呢? |