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[数论] 循环小数连续$m$位的乘积

$\alpha$是循环小数,$f_k(m)$表示$\alpha$小数点后第$k$位开始,连续$m$位上的数字之积。求证存在正整数$p,q$,使得对任意的$s,t$都有$[f_p(s)]^{\frac{1}{s}} \le [f_q(t)]^{\frac{1}{t}}$
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题目有问题吧,$s$和$t$有啥区别,交换一下$s$和$t$是个什么情况?

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回复 3# zhcosin


交换s和t,可以存在不同的一组p,q,证明的是这个存在性。

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估计能看明白且写几步的人不多。。。。

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回复 6# isee

题目看得明白,只是还没证出来,之前就思考过,而且已经转化到一个命题上,还用软件试验过。

那,我就写写一些想法吧。

首先不难想到,若记 $\alpha$ 的循环节内的数字的几何平均数为 $G$,则当 $s\to\infty$ 时 $\sqrt[ s ]{f_p(s)}\to G$,由 $s$, $t$ 的任意性,如果命题成立的话,$G$ 应当能插在中间,即存在 $p$, $q$ 使 $\sqrt[ s ]{f_p(s)}\leqslant G\leqslant \sqrt[ t ]{f_q(t)}$ 恒成立。

其次不难想到,只要考查一个循环节的长度就够了,因此,如无意外的话,就只要证明如下命题:

待证命题:任意给定项数为 $n$ 的正数数列 $\{a_k\}$,设 $\{b_k\}$ 为 $\{a_k\}$ 的任意轮换(包括 $\{a_k\}$ 自身),令 $c_k=\sqrt[k]{b_1b_2\cdots b_k}$,则一定存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\max\{c_k\}=c_n$,也存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\min\{c_k\}=c_n$。

举个栗子,以我的QQ号为例,给定数列 $\{2,4,9,5,3,3,1,6,4\}$,在九个 $\{b_k\}$ 当中,$\{3,3,1,6,4,2,4,9,5\}$ 使 $\max\{c_k\}=c_9$,$\{6,4,2,4,9,5,3,3,1\}$ 使 $\min\{c_k\}=c_9$。

作指数代换可知与上述命题等价的命题为:

待证命题 $'$:任意给定项数为 $n$ 的实数数列 $\{a_k\}$,设 $\{b_k\}$ 为 $\{a_k\}$ 的任意轮换(包括 $\{a_k\}$ 自身),令 $c_k=(b_1+b_2+\cdots +b_k)/k$,则一定存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\max\{c_k\}=c_n$,也存在某个 $\{b_k\}$ 使 $\min\{c_k\}=c_n$。

就是不知怎么证,用软件随机生成一些数来验证都是成立的。

Mathematica验证代码:
  1. a = Table[RandomReal[], {6}]
  2. n = Length[a];
  3. j = 0;
  4. Do[{
  5.   i = 1;
  6.   Do[{
  7.     b[i] = a[[Mod[i + j - 1, n] + 1]];
  8.     i++
  9.     }, {n}];
  10.   cc[j] = Table[N[Product[b[k], {k, 1, m}]^(1/m)], {m, 1, n}];
  11.   j++
  12.   }, {n}]
  13. Table[ListLinePlot[cc[k]], {k, 0, n - 1}]
复制代码
生成 $\{c_k\}$ 的走向图,刚才运行的一次结果为:
QQ截图20170624021707.png
2017-6-24 02:16

可以看出第2和第5个图就符合最后一项最大和最小。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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觉得你已经完成关键证明了。
补充下7楼,设循环节长度为r,这个小数从第z位开始循环
\[那么G^r=(f_z(s))^{\frac{1}{s}}(f_{z+1}(s))^{\frac{1}{s}}...(f_{z+r-1}(s))^{\frac{1}{s}}\]
在这些$(f_{z+x}(s))^{\frac{1}{s}}$中找一个最小。
于t也一样,在这些$(f_{z+x}(t))^{\frac{1}{t}}$中找一个最大。

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回复 8# realnumber

关键证明就是证明那个命题,但还没证出来啊。

你写的我也没看懂,“在这些$(f_{z+x}(s))^{\frac{1}{s}}$中找一个最小”是什么意思?可以实操说明一下吗?就比如 $\alpha=0.\dot24953316\dot4$,用你的方法怎么找出 p, q?

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本帖最后由 abababa 于 2017-6-24 10:04 编辑

回复 9# kuing

发一位网友的证明,思路是一样的:
因为混循环小数总能将小数点后移几位,不影响$p,q$的选择,因此不妨设$\alpha$是纯循环小数,循环节为$n$,设$\alpha = 0.\overline{a_1a_2 \cdots a_n}$,于是$a_i = a_{n+i}, i=1,2,\cdots$。

若某个$a_k = 0$,显然取$p = q = k$时命题成立,所以不妨设$a_i \neq 0, 1 \le i \le n$。设$G = \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n}$,作代换$x_i = \frac{a_i}{G}, 1 \le i \le n$,则显然$x_1x_2 \cdots x_n = 1$。

下面证明一定存在正整数$p$,使得对任意的$s$都有$x_{p+1}x_{p+2} \cdots x_{p+s} \le 1$。由于$x_1x_2 \cdots x_n = 1$,所以只要证明$s \le n$的情况。

对于$n$个乘积:$x_1, x_1x_2, \cdots x_1x_2 \cdots x_n$,如果它们都不大于$1$,则可取$p = n$。若其中至少有一个大于$1$,设$x_1x_2 \cdots x_p$是其中最大的,则$\begin{cases}
x_{p+1} \le 1\\
x_{p+1}x_{p+2} \le 1\\
\cdots\\
x_{p+1}x_{p+2} \cdots x_n \le 1
\end{cases}$(*),否则若其中有一个大于$1$,则将它乘到$x_1x_2 \cdots x_p$上,即得到比$x_1x_2 \cdots x_p$更大的数,这与$p$的选择方式矛盾。

因为$x_1x_2 \cdots x_n = 1$,因此$x_{p+1} \cdots x_n = \frac{1}{x_1 \cdots x_p}$,而按$p$的取法可知$x_1, x_1x_2, \cdots x_1x_2 \cdots x_p$都不大于$x_1x_2 \cdots x_p$,所以$\begin{cases}
x_{p+1} \cdots x_nx_1 = \frac{1}{x_1 \cdots x_p} \cdot x_1 \le 1\\
x_{p+1} \cdots x_nx_1x_2 = \frac{1}{x_1 \cdots x_p} \cdot x_1x_2 \le 1\\
\cdots \\
x_{p+1} \cdots x_nx_1 \cdots x_p = \frac{1}{x_1 \cdots x_p} \cdot x_1 \cdots x_p \le 1
\end{cases}$(**)。

由(*)(**)和$x_i = x_{n+i}$知,一定存在正整数$p$,使得对任意的$s$都有$x_{p+1}x_{p+2} \cdots x_{p+s} \le 1$,即$a_{p+1}a_{p+2} \cdots a_{p+s} \le G^s$,因此$\sqrt[ s ]{a_{p+1}a_{p+2} \cdots a_{p+s}} \le G$,即$(f_p(s))^{\frac{1}{s}} \le G$。

同理可证存在正整数$q$,使得对任意的$t$都有$(f_q(t))^{\frac{1}{t}} \ge G$,所以$(f_p(s))^{\frac{1}{s}} \le (f_q(t))^{\frac{1}{t}}$。

原来如此,在网页上根号s还不能用sqrt的方式来写,不然会变成删除线。

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本帖最后由 realnumber 于 2017-6-24 09:25 编辑

x=0,1,2,..r-1
$(f_z(s))^{\frac{1}{s}},(f_{z+1}(s))^{\frac{1}{s}},...,(f_{z+r-1}(s))^{\frac{1}{s}}$
x变化时,上面的r个中最小的一个。假定最小的一个为$x=x_0$时候,那么$p=z+x_0$

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回复 11# realnumber

问题是 s 是任意的啊,不同的 s 或许会使 x0 不同

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回复 10# abababa

这个证明理解了,very nice,我怎么没想到正规化呢,瞬间搞掉了根号。

PS、[ s ] 是 discuz 论坛的删除线代码,用空格空开就行。

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我理解错了,
变成任意给定的s,t,存在p,q

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回复 13# kuing

学会了,加了空格编辑了。

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回复 15# abababa

嗯,除了 [ s ] 外还有 [ b ]、[ i ]、[ u ]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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眼都花了,,,,,,,,

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