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[不等式] 求$\frac{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z}$最大值

如图,谢谢!
最大值.png
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未命名.PNG
2016-5-30 09:45

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嗯,也就三元能玩,四元或以上如无意外涉及高次方程

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回复 2# 游客


    谢谢!我还想知道你是怎么求解这个方程组的?

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也来一种方法:

先看三元的,待定正数 $m$,使得
\begin{align*}
m(x+y+z)&=x+(m-1)x+my+mz \\
&\geqslant x+2\sqrt{(m-1)x\cdot my}+mz \\
&=x+\sqrt{xy}+2\cdot \frac12\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)\sqrt{xy}+mz \\
&\geqslant x+\sqrt{xy}+3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2xy\cdot mz}
\end{align*}
要能用均值,得满足 $m>1$, $2\sqrt{(m-1)m}>1$,然后自然是要令
\[3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}=1,\]
解之得出 $m=4/3$,取等条件 $(m-1)x=my$ 且 $\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)\sqrt{xy}=2mz$,有非零解,所以 $4/3$ 就是最佳系数。


再来试四元,承接上面,有
\begin{align*}
m(x+y+z+w)&\geqslant x+\sqrt{xy}+3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2xy\cdot mz}+mw\\
&=x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}+3\cdot \frac13\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)\sqrt[3]{xyz}+mw\\
&\geqslant x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}+4\sqrt[4]{\frac1{3^3}\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)^3xyz\cdot mw},
\end{align*}
需要 $m>1$, $2\sqrt{(m-1)m}>1$, $3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}>1$,然后令
\[4\sqrt[4]{\frac1{3^3}\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)^3m}=1,\]
解出来的就是最佳系数,然而解不出精确解来,其数值解约为 $1.420844$。

五元,最后要解的就是
\[5\sqrt[5]{\frac1{4^4}\left( 4\sqrt[4]{\frac1{3^3}\left( 3\sqrt[3]{\frac1{2^2}\bigl(2\sqrt{(m-1)m}-1\bigr)^2m}-1 \right)^3m}-1 \right)^4m}=1,\]
解的近似值约 $1.486$。

方程的规律很清楚,然并卵……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 5# kuing


    这个证法好厉害,避免了求解方程组,让人眼前一亮!谢谢大神!

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2016-5-30 16:39

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