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[函数] 来自人教群的一道看起来是专用于裂项的菊部不等式

陕A爱好者α(1298******)  13:44:47
QQ图片20160521175928.png
2016-5-21 17:58

这个怎么做 给点意见呗

经过研究,我发现其实有着更一般的结论,实际上玩的是函数,所以虽然是菊部不等式,但本帖的分类选了“函数”。

定理:设 $f(x)$ 在区间 $D$ 内有定义,设 $d\geqslant0$ 且 $m-d$, $m+d\in D$,若在 $D$ 内恒有 $f'''(x)\geqslant 0$,则
\[f(m+d)-f(m-d)\geqslant f'(m)\cdot 2d,\]
若恒有 $f'''(x)\leqslant 0$,则上式反向成立。若 $d>0$ 且 $f'''(x)$ 不存在为恒零的区间,则不等式的等号也取不了。

证明:只证 $f'''(x)\geqslant 0$ 的情形,反向的类似。令
\[g(d)=f(m+d)-f(m-d)-f'(m)\cdot 2d,\]
则 $g(0)=0$,且
\[g'(d)=f'(m+d)+f'(m-d)-2f'(m),\]
因为 $f'''(x)\geqslant 0$,故 $f'(x)$ 为下凸函数,于是由琴生不等式,有
\[f'(m+d)+f'(m-d)\geqslant 2f'\left( \frac{m+d+m-d}2 \right)=2f'(m),\]
即 $g'(d)\geqslant 0$,所以 $g(d)\geqslant 0$。至于取等那事儿是易见的,定理得证。


现在,设 $a>0$,令
\[f(x)=\frac1{x^a}\riff f'''(x)=\frac{-a(a+1)(a+2)}{x^{a+3}}<0,\]
那么,当 $m>d>0$ 时,根据定理,有
\[f(m+d)-f(m-d)<f'(m)\cdot 2d,\]
代入整理即得
\[\frac1{(m-d)^a}-\frac1{(m+d)^a}>\frac{2da}{m^{a+1}},\]
此时再令 $m=n$, $d=0.5$, $a=k-1$,即得
\[\frac1{(n-0.5)^{k-1}}-\frac1{(n+0.5)^{k-1}}>\frac{k-1}{n^k},\]
这比原题更强一些。
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这个定理表明:若函数的三阶导数恒为正,则其上任意两点的割线斜率比中点处的切线斜率要大。
比如 $y=e^x$, $y=\ln x$, $y=ax^3+bx^2+cx+d(a>0)$ 等等都有此性质。
QQ截图20160521184127.png
2016-5-21 18:41



另外,与1楼定理等价的定理为:
定理 $'$:设 $f(x)$ 在区间 $D$ 内有定义,设 $d\geqslant0$ 且 $m-d$, $m+d\in D$,若在 $D$ 内恒有 $f''(x)\geqslant 0$,则
\[\int_{m-d}^{m+d}f(x)\rmd x\geqslant f(m)\cdot 2d,\]
若恒有 $f''(x)\leqslant 0$,则上式反向成立。若 $d>0$ 且 $f''(x)$ 不存在为恒零的区间,则不等式的等号也取不了。

其实就是把 $f'(x)$ 变成了 $f(x)$,所以是一样的。
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回复 1# kuing

那个定理不但能用于裂项菊部,还能用于传说中的“极值点漂移”。

推论:若 $f(x)$ 满足 $f'''(x)>0$,当 $x<x_0$ 时 $f(x)$ 递减,在 $x>x_0$ 时 $f(x)$ 递增,则当 $x_1<x_2$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$ 时有 $x_1+x_2<2x_0$。

证明:在1楼的定理中,令 $m+d=x_2$, $m-d=x_1$,则得到\[0=f(x_2)-f(x_1)>f'\left(\frac{x_1+x_2}2\right)\cdot(x_2-x_1)
\riff f'\left(\frac{x_1+x_2}2\right)<0,\]故由 $f(x)$ 的单调性知必有 $(x_1+x_2)/2<x_0$,即得证。

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极值点漂移  原来是这样子啊

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扎克终于粗线了。几个高考贴都没见吭过一声.

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我好像看到了不该看到的东西——“菊部”不等式……
要优雅不要污

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回复 3# 郭嵩阳


    这不秒掉了2016全国卷I 理科压轴题 妙哉!

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回复 7# Jan

貌似不行,你算下三阶导数

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三阶导数保号这条件太强,有必要弱化它

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1楼定理是不是可以用泰勒展开式证明?

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1楼定理是不是可以用泰勒展开式证明?
其妙 发表于 2016-7-4 21:43

你都明知可以的,还故问

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以后还有“来自人教群的……”帖子产生没有?

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回复 12# 其妙

不知道,以后的事谁说得准

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以后还有“来自人教群的……”帖子产生没有?
其妙 发表于 2016-7-6 22:37



    这么简单么,你把题发来就是了,解不解无所谓

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这么简单么,你把题发来就是了,解不解无所谓
isee 发表于 2016-7-7 00:32

我是说他退人教群了,估计这种帖子“来自人教群的……”已成为绝版!

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我是说他退人教群了,估计这种帖子“来自人教群的……”已成为绝版! ...
其妙 发表于 2016-7-7 15:50



    我已经山寨了一下

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回复 16# isee


    kuing应该来指导我们

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回复  hjfmhh
    kuing应该来指导我们
hjfmhh 发表于 2016-7-7 17:58

不过,你也挺厉害的,看见你不少文章发表在刊物上了

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高!高!高!极值偏移是割线斜率与中点处的切线斜率不相等造成的

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