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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 请教先取指数,再求和,再取对数,如何简化计算?
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发表于 2016-5-18 13:33
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请教先取指数,再求和,再取对数,如何简化计算?
昨天网友问了一个问题,是求$\ln(e^{100001}+e^{100002}+\cdots+e^{100050})$,其中$e$是自然对数的底,省略号中省略的没什么规律,只是一些很大的数。他在计算器上算不了,我用Mathematic能算,整数部分就是最大的那个指数,小数部分要精确到第四位。
现在我想到这样一个问题:如果是求$\ln(e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots+e^{x_n})$,这里$x_1$到$x_n$都不是特别大,但是$n$很大,有没有什么简化的方法能算出来一个较精确的数值结果?例如乘法,变成对数后能用加法算,加法就简单了,我可能说得不太明白,差不多就是这个意思。
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发表于 2016-5-18 15:38
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abababa
看看他们几个高材生,能否展开来求,就是转化成级数的意思,如果不能,估计就不是初等问题了。
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发表于 2016-5-18 20:05
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对数的真数是等比数列求和?不能有效放缩公比?
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abababa
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发表于 2016-5-18 21:25
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游客
不是,是一些没什么规律的数。我想到这个问题,其实是在Mathematica里做了一个运算,N[Log[Sum[E^(i), {i, 1, 100050}]], 10],我发现这个有规律的计算也有点慢,软件还停顿了一下才出结果,我就猜是不是有的计算太复杂了,用电脑来算不如加法快,看了一些网上的资料,确实乘法不如加法快,所以就想这里的$e^{x_i}$求和再求对数,能不能变成对$x_i$的加法,最后再求一次对数函数或其它什么函数的,那样就快了。我对这方面不懂,说的也都不怎么准确。
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realnumber
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发表于 2016-5-18 21:59
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\[\ln(e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots+e^{x_n})=x_1\ln(1+e^{x_2-x_1}+e^{x_3-x_1}+\cdots+e^{x_n-x_1})\]
会不会好点?瞎蒙下~~~
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abababa
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发表于 2016-5-19 09:20
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realnumber
对一楼的问题,这样做能使数变小,但小的数和大的数,在求$e^x$方面有没有什么计算速度上的差别,我也不懂。但是对于四楼我说的Mathematica里的那个计算,这样做其实没能改变什么。
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