任给8个实数，如下运算后证明有至少一个非负

isee

应楼下要求给出两个写法，题一样


一种写法：

任给8个实数$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8$，求证：
\[a_1a_3+a_2a_4,a_1a_5+a_2a_6,a_1a_7+a_2a_8,a_3a_5+a_4a_6,a_3a_7+a_4a_8,a_5a_7+a_6a_8\]
这6个数中至少有一个非负。


另一种写法：

任给8个实数$a,b,c,d,e,f,g,h$，求证：$ac+bd,ae+bf,ag+bh,ce+df,cg+dh,eg+fh$这6个数中至少有一个非负。

kuing

用 $a_1$, $a_2$, ... 来表达会不会容易看一点……

isee

回复 2# kuing


   
刚开始是那么写的，后来考虑到打下标其实也麻烦，所以就改成从a开始的8个字母了。

kuing

回复 3# isee

但是我们看的就很麻烦，下标方便看清楚位置关系，abcdefg 不熟悉

isee

回复 4# kuing


   

加一种另外的书写了

kuing

回复 5# isee

这样就好看多了，刚才那种读到后面就乱了

kuing

令 $\vv{a_{ij}}=(a_i,a_j)$，则六个数分别为 $\vv{a_{12}}\cdot\vv{a_{34}}$, $\vv{a_{12}}\cdot\vv{a_{56}}$, $\vv{a_{12}}\cdot\vv{a_{78}}$, $\vv{a_{34}}\cdot\vv{a_{56}}$, $\vv{a_{34}}\cdot\vv{a_{78}}$, $\vv{a_{56}}\cdot\vv{a_{78}}$，可以看到，实际上式子里只出现了四个向量 $\vv{a_{12}}$, $\vv{a_{34}}$, $\vv{a_{56}}$, $\vv{a_{78}}$，六个数分别就是它们之间两两的内积，因此问题转化为四个平面向量中，至少有一对向量的夹角不是钝角，此乃显然。

isee

令 $\vv{a_{ij}}=(a_i,a_j)$，则六个数分别为 $\vv{a_{12}}\cdot\vv{a_{34}}$, $\vv{a_{12}}\cdot\vv{a_{56 ...
kuing 发表于 2013-10-10 18:12

秒得很顺

其妙

回复 8# isee
k的这个证法也太牛笔了吧？

isee

回复  isee
k的这个证法也太牛笔了吧？
其妙 发表于 2013-10-10 22:42

与我见到的标签一模一样，思维很阔

不知还有没其它证法

爪机专用

回复 10# isee
标签? 你这是用五笔还是笔画?

isee

回复 11# 爪机专用


五笔，没标答这个词组

手机上网时从不回帖 麻烦

Tesla35

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2013-12-10 11:43

题目存档

kuing

回复 13# Tesla35

这题跟1#的有联系？

Tesla35

回复 14# kuing
都是构造啊。