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求助两个级数极限

其中EulerGamma是指欧拉常数。谢谢了!
级数极限1.png
级数极限2.png
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本帖最后由 战巡 于 2016-4-16 04:27 编辑

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1、
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+k^4x^2}=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{\frac{1}{x^2}+k^2})=\frac{\pi^2}{6}+\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x\coth(\frac{\pi}{x})}{2}\]
后面那块求和参见http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &page=1#pid5181

剩下没啥难的,自己搞定吧
最后你会发现极限根本没多大意义,完全就是恒等的,求极限只不过是把$x=0$这个间断点补上

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2、
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+k^3x}=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k^2}-\frac{x}{k}+\frac{x}{\frac{1}{x}+k})\]
\[=\frac{\pi^2}{6}-x·\lim_{n\to\infty}(\ln(n)+\gamma-(\psi(\frac{1}{x}+1+n)-\psi(\frac{1}{x}+1))=\frac{\pi^2}{6}-x(\gamma+\psi(\frac{1}{x}+1))\]
\[原式=\lim_{x\to0}-\frac{\psi(\frac{1}{x}+1)+\ln(x)}{x^2}+\frac{1}{2x}\]
后面变成双伽马的展开问题,有
\[\psi(\frac{1}{x}+1)=-\ln(x)+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^4}{120}+o(x^6)\]
极限自己算吧

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回复 3# 战巡


    话说那个展开如何算?

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