[几何] 向量最值 $\abs{\bm a-\bm b}=\abs{\bm b-\bm c}=\abs{\bm a-\bm c}$

lrh2006

想问问大家是怎么做这道题的？谢谢

kuing

设四点 $O$, $A$, $B$, $C$ 使 $\vv{OA}=\bm a$, $\vv{OB}=\bm b$, $\vv{OC}=\bm c$，由托勒密不等式，有
\[OC\cdot AB\leqslant OA\cdot BC+OB\cdot AC,\]
即
\[\abs{\bm c}\cdot\abs{\bm a-\bm b}\leqslant \abs{\bm a}\cdot\abs{\bm b-\bm c}+\abs{\bm b}\cdot\abs{\bm a-\bm c},\]
若 $\abs{\bm a-\bm b}=\abs{\bm b-\bm c}=\abs{\bm a-\bm c}=0$，则 $\bm a=\bm b=\bm c$，则 $\abs{\bm c}=1$；
若 $\abs{\bm a-\bm b}=\abs{\bm b-\bm c}=\abs{\bm a-\bm c}\ne0$，则由上式得 $\abs{\bm c}\leqslant \abs{\bm a}+\abs{\bm b}=2$，当 $O$, $A$, $B$, $C$ 四点共圆且 $OC$ 为直径时取等，所以 $\abs{\bm c}$ 的最大值就是 $2$。

敬畏数学

设O原点，OA=a=（1.0），OB=b，OC=c，由最后一个等式有：ABC为等边三角形，且B点在单位圆上运动，易求得：C的轨迹为一圆。最后求得OC的最大最小值！

lrh2006

回复 3# 敬畏数学

就是在求C的轨迹时，求不出来了。可否再指点一二，谢谢

lrh2006

回复 2# kuing

谢谢，不过平时不会想到托勒密啊

kuing

回复 3# 敬畏数学

是两个圆

lrh2006

回复 6# kuing

为什么我求不出圆

kuing

回复 4# lrh2006

像撸题集第 954 页那里那样

lrh2006

回复 8# kuing


    看了，里面没有解释为什么是圆。提到一个链接，https://kkkkuingggg.haotui.com/thread-1256-1-1.html，打不开，能帮我看下地址有错 吗？

kuing

不用 https 就可以打开了，http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-1256-1-1.html，不过那帖有些图好像丢了。
我撸题集里有解释的，就是旋转的关系啊。

isee

由$\abs{\vv a}=\abs{\vv b}=1,\abs{\vv a-\vv c}=\abs{\vv b-\vv c}\Rightarrow (\vv a-\vv b) \perp \vv c$，求最大，如下图：

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2016-4-16 08:44

将蓝色三角形旋转到灰色三角形，于是 $OC=OO'\leqslant OA+AO'=2$

lrh2006

回复 10# kuing


    嗯嗯，谢谢，打开了，确实都看不见图。感觉自己最近越来越傻心好累

敬畏数学

回复 4# lrh2006
用复数可以解决，但普通的其他方法貌似困难？求助高手解决这个轨迹问题，是两个全等的圆。

游客

回复 13# 敬畏数学


    以O为圆心，半径为OA=1的圆，饶点B顺时针（或逆时针）转60度；
或者就是，以O为圆心，半径为OB=1的圆，饶点A顺时针（或逆时针）转60度；
题目的计算可以用三角函数求值域，令∠AOB=2θ，则：
│c│=│cosθ±√3sinθ│,θ∈[0,π/2].

走走看看

回复 13# 敬畏数学

这里有人给出了轨迹，但不知道那个方程是怎么求出来的。
https://zhidao.baidu.com/question/179055036036900564.html

乌贼

$ A $点固定，$ C $点在园$ B $上滑动，$ \triangle ABO,\triangle ACD $都为正三角形，则$ O $为定点\[ \triangle AOD\cong \triangle ABC \]有\[ OD=AB \]即$ D $点在以$ O $点为园心，$ AB $为半径的园上，$BD\leqslant 2AB=2$

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2017-10-24 03:06

敬畏数学

回复 16# 乌贼
。哈哈，看到您的发帖时间，有点怵！

游客

你们都不看14楼的吗？
14楼讲的是一个具体的点A（或B）的旋转，题目就是把整个圆旋转，然后就有轨迹了。

走走看看

回复 18# 游客

你的答案很好，易于接受。