[不等式] 这样的证明有没有问题？(常见基础题)

kuing

题目：对任意 $n\in\mbb N^+$，求证：$\displaystyle 1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n>\ln(n+1)$。
证明：由数归之类神马的可知，只要证明 $\displaystyle\frac1n>\ln(n+1)-\ln n$，即 $\displaystyle\frac1n>\ln\frac{n+1}n$，于是只要证明当 $x>0$ 时恒有 $x>\ln(1+x)$，令 $f(x)=x-\ln(1+x)$，则 $\displaystyle f'(x)=1-\frac1{1+x}=\frac x{1+x}>0$，故 $f(x)>f(0)=0$，从而原不等式得证。

Tesla35

有什么问题？

kuing

回复 2# Tesla35
我有这样一个想法：
要证的 $\displaystyle\frac1n>\ln\frac{n+1}n$，显然等价于 $\displaystyle\left(1+\frac1n\right)^n<e$。
而在定义 $e$ 的时候，印象中是由数列 $\displaystyle\left\{\left(1+\frac1n\right)^n\right\}$ 单增且有上界，于是有极限，将极限值定为 $e$。
这样看来，$\displaystyle\left(1+\frac1n\right)^n<e$ 在定义 $e$ 的时候已经有了，因此这应该不需要再证明，而上面的解法中再次证明了它（的等价式），而且后面还求导了（对数求导也要用这个极限），算不算是循环论证？

isee

回复 3# kuing

从这个方面上看，我个人认为是循环论证。

但是高中生不知道这个玩意，所以，说得过去。

kuing

回复 4# isee

高中是如何引进 e 的？我不记得了，是无条件给出还是怎么？

hongxian

回复 5# kuing


    只知道是个无理数,是无条件给出的.

zwl1972

来一个有意思的证明：若 $~n\in N^+,~$求证:${\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)}$

1.   \begin{tikzpicture}[domain=0:4.5,smooth,>=latex',yscale=1,xscale=0.7]
   
2.    \coordinate (O) at (0,0);
   
3.    \node[left] at (0.01,-0.2) {$O$};
   
4.    \node[right,red] at (0.5,2) {$f(x)=\dfrac{1}{x}$};
   
5.    %\draw[very thin,color=gray] (-0.1,-0) grid (10,4);
   
6.    \draw[thick,-latex'] (-0.2,0)--(10,0) node[above] {$x$};
   
7.    \draw[thick,-latex'] (0,-0.11)--(0,5) node[right] {$y$};
   
8. 
   
9.    \draw[smooth,color=red,thick,domain=0.3:9] plot (\x,{1/(\x)});
   
10.    \filldraw[black,nearly transparent,domain=1:8] plot (\x,1/\x) --(8,0)--(1,0) ;
    
11. \foreach \x/\xtext in {1/1,2/2,3/3,4/4,5/{\cdots},6/{\cdots},7/{}}
    
12. {\filldraw (\x,1/\x) circle (1pt);
    
13. \draw[magenta,thick] (\x,0)--(\x,1/\x)--(\x+1,1/\x)--(\x+1,0);
    
14. \node  at (\x,-0.3) {$\xtext$};}
    
15. \node  at (8,-0.3) {$n+1$};
    
16. \filldraw (8,1/8) circle (1pt);
    
17. \draw[magenta,thick] (1,0)--(8,0);
    
18. 
    
19. \node[left=0.5cm,text width=10cm,rounded corners,fill=red!10,inner sep=1ex]at (0,2)
    
20. {\textcolor{red}{\begin{proof}
    
21. 如右图,阴影面积小于桃红色矩形组成的面积
    
22. $\int_1^{n+1}\dfrac{1}{x} dx=\ln(n+1)<
    
23. \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$
    
24. \end{proof}}};
    
25. \end{tikzpicture}

复制代码

kuing

回复 7# zwl1972

论坛所用的 MathJax 只支持大部分公式代码，并不支持 tikz 。
PS、这个证法也不是新鲜东西了，标题也说了这是常见基础题，证法肯定很多，这里主要是想讲循环论证的问题。

其妙

回复 7# zwl1972
写的是神马东西？写的这么辛苦，却无法显示。

Tesla35

回复 9# 其妙

里面有图片。
面积原理

其妙

那个赵老师还在空间里搞了个不等式的积分证明：

2013-10-11 13:16

2013-10-11 13:17

kuing

回复 11# 其妙

7#代码是第一个图，相信你说的赵老师就是7#。

PS、还是回到主题吧……

其妙

回复 12# kuing
你的推理和判断正确！

kuing

回复 13# 其妙

回正题回正题……1#那个证明你怎么看……

其妙

回复 14# kuing
有点同意4、6楼的（isee和hongxian）意见，也有点类似于蛋生鸡还是鸡生蛋的问题（只是部分类似，不是完全类似）
底数不一定是$e$对数函数的导数的推导的确要用那个著名的极限$e$，
上午都可以传图片，晚上居然不能传了！
要不然的话大家就可以看到对数函数的导数的推导的确要用到那个著名的极限$e$，
因此，那个不等式应该就是显然可得的。
中学的理论主要重点关注逻辑体系，而不是重点关注理论体系吧，
所以将函数求导公式默认成为公理，极值等理论变成定理，然后结合逻辑去解决一大堆问题

kuing

回复 15# 其妙

其实也不必扯上求导，本题出现了 ln ，即出现了 e ，有 e 就有那不等式……

其妙

回复 16# kuing
的确有e就有那个不等式，也就是不用再花功夫证明了。
于是此问题就解决了。
不过还是没有解决顶楼的方法的疑问。从另外一方面讲，也可能有不知道的那个关于e的不等式的，他就得用其他方法来尝试证明该不等式，（除了顶楼的“方法”，该不等式的证明方法不知道是否唯一？）
当他用其他方法来尝试证明该不等式时，例如顶楼的方法，就要让他知道是否犯了循环论证，因为对数求导公式的证明就用了那个著名的极限，（不知道还有没有不用那个著名的极限的方法证明对数求导公式？）

kuing

回复 15# 其妙
现在应该可以传附件了，不过那个也不必传了，也就一行的事
\[
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_ax}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac1x\log_a\left(1+\frac{\Delta x}x\right)^{\frac x{\Delta x}}=\frac{\log_ae}x=\frac1{x\ln a}.
\]

kuing

回复 17# 其妙

还有一种解决办法，就是不用那个定义，改用级数神马的来定义 e（分析学教材里说不准也有这样做的），再证明那个极限也等于 e（要使得1#证法没问题，此步还不能涉及那个不等式，我没试过证，不知行不行）。

睡神

话说现在广东不学极限了，只在学定积时，知道有极限这东东存在罢了…至于自然底数e的值，是在学对数函数时无条件给出的，学生也不知道它是神马来的…所以，对他们来说，不存在神马循环论证这说法…