这里开始研究古怪的级数……

血狼王

我以前手贱去写代码估算这两个东西：
$$S_n=-\underset{x\in [0,2\pi)}{\min} \sum_{k=1}^{n} \sin(k^2x)$$
$$C_n=-\underset{x\in [0,2\pi)}{\min} \sum_{k=1}^{n} \cos(k^2x)$$
算了十几个后，除了知道这两个东西大致与$n$同阶，就没有什么成果了。
现在转而考虑这样的级数：
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k^2x)}{k^\alpha}$$
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k^2x)}{k^\alpha}$$
问题是：
当$\alpha$分别满足什么条件时，这两个级数分别收敛呢？
猜测$\alpha=1$不符合，不知道对不对。

血狼王

另一个问题：
$$\sum_{p为素数}^{2\leq p\leq N} \ln p$$
的阶到底是什么？（$N$为趋于无穷大的正整数）
我猜测是$O(N)$（编代码模拟过了），可是找不到前人的证明，不知道是不是。

血狼王

回复 3# Czhang271828

多谢回复。
意思是，那个和跟N是渐近相等的？
我明白了