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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 圆锥曲线问题,求简捷的几何解法
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发表于 2016-4-2 20:53
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只看该作者
[几何]
圆锥曲线问题,求简捷的几何解法
2016-4-2 20:52
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kuing
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发表于 2016-4-3 22:31
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只看该作者
我用一般情况来算发现涉及三次方程,而这题数据是设计过,刚好有简单的因式分解,所以没啥性趣研究太多了,下面就用几何角度来简略写写。
显然,问题等价于:抛物线 $y^2=2px$($p>0$)的焦点为 $F$,过 $F$ 的弦 $AB$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于 $C$ 且 $OC=m$,求 $AB$ 的长。
2016-4-3 22:32
如图,设 $AB$ 中点为 $Q$,$CQ$ 与 $x$ 轴交于 $R$,过 $A$, $B$ 分别向准线引垂线 $AA'$, $BB'$,则有
\[\frac{FQ}{FR}=\frac{BB'-AA'}{AB}=\frac{2FQ}{AB}\riff AB=2FR,\]
易证
\[\frac1{FA}+\frac1{FB}=\frac2p,\]
由 $AB=2FR$ 得 $FA=FR-QF$, $FB=FR+QF$,故
\[\frac2p=\frac1{FR-QF}+\frac1{FR+QF}
=\frac{2FR}{FR^2-QF^2}=\frac{2FR}{QR^2}
\riff QR^2=p\cdot FR,\]
由三角形相似有
\[FR\cdot OR=QR\cdot CR
\riff FR\left( FR+\frac p2 \right)=\sqrt{p\cdot FR}\sqrt{m^2+\left( FR+\frac p2 \right)^2},\]
平方整理为
\[4FR^3-3p^2FR-4m^2p-p^3=0,\]
所以说一般数据就要解三次方程,而1楼的题是 $p=2$, $m=5$,代入上式恰好能因式分解为
\[4(FR-4)(FR^2+4FR+13)=0,\]
所以 $FR=4$,即 $AB=8$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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榕坚
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发表于 2016-4-4 09:55
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谢谢,看来这是特意设计的一道计算题。
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kuing
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发表于 2016-4-4 13:29
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榕坚
是啊,所以感觉这题没多大意思……
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发表于 2016-4-22 11:10
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当OC=5OF时,AB的斜率为1。不知道这样的数据是怎么凑出来的。
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敬畏数学
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发表于 2016-4-22 15:56
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榕坚
此题普通的解析法根本不难算,为何一定要寻求纯几何法呢?设AB方程即可。算出K=1.
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