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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 来自人教论坛的费马点求 $(PA+PC)/PB$
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发表于 2016-3-23 14:42
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只看该作者
[几何]
来自人教论坛的费马点求 $(PA+PC)/PB$
原帖链接:
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3141140
题目:
2016-3-23 14:42
由已知等式可知 $P$ 为费马点,如图,将 $\triangle APC$ 绕 $A$ 旋转 $60\du$ 至 $\triangle AP'C'$,则 $\triangle APP'$, $\triangle ACC'$ 均为等边三角形,故 $B$, $P$, $P'$, $C'$ 共线,所以
\[PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'=BC',\]
恰好 $\angle BCC'$ 为直角,故易得 $BC'=\sqrt7$,又恰好 $\angle BAC'=120\du$,故 $\triangle BPA\sim \triangle BAC$,所以
\[BP\cdot BC'=BA^2=1,\]
那么
\[\frac{PA+PC}{PB}=\frac{BC'}{PB}-1=BC'^2-1=6.\]
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发表于 2018-1-15 20:41
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原贴的图不见了啊。
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发表于 2018-1-15 20:54
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Tesla35
没办法,要怪就只能怪那边不让传附件……
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kuing
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发表于 2018-1-15 20:56
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原题印象中是用三角函数等式来表达费马点的
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