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[几何] 来自人教论坛的费马点求 $(PA+PC)/PB$


QQ截图20160323144212.png
2016-3-23 14:42

由已知等式可知 $P$ 为费马点,如图,将 $\triangle APC$ 绕 $A$ 旋转 $60\du$ 至 $\triangle AP'C'$,则 $\triangle APP'$, $\triangle ACC'$ 均为等边三角形,故 $B$, $P$, $P'$, $C'$ 共线,所以
\[PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'=BC',\]
恰好 $\angle BCC'$ 为直角,故易得 $BC'=\sqrt7$,又恰好 $\angle BAC'=120\du$,故 $\triangle BPA\sim \triangle BAC$,所以
\[BP\cdot BC'=BA^2=1,\]
那么
\[\frac{PA+PC}{PB}=\frac{BC'}{PB}-1=BC'^2-1=6.\]
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$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

原贴的图不见了啊。

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回复 2# Tesla35

没办法,要怪就只能怪那边不让传附件……

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原题印象中是用三角函数等式来表达费马点的

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