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单射函数

证明以下函数都是单射:
1)$ f(t,\theta)=(\cosh t\cos \theta, \cosh t\sin \theta, t) $
2)$ f(\theta,v)=(\cos\theta+v\sin(\theta/2)\cos\theta,\sin\theta+v\sin(\theta/2)\sin\theta, v\cos(\theta/2)) $
3) $ f(a,b)=((2+\cos a)\cos b, (2+\cos a)\sin b,\sin a) $
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不是吧,$f(t,\theta)=f(t,\theta+2\pi)$,怎么会单射,后面两个也是

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回复 2# kuing


那如果theta满足(-pi,pi)的范围呢?

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那如果theta满足(-pi,pi)的范围呢?
opuikl_0 发表于 2016-3-20 14:41

那容易,若 $f(t_1,\theta_1)=f(t_2,\theta_2)$,则
\[\led
\cosh t_1\cos \theta_1&=\cosh t_2\cos \theta_2, \\
\cosh t_1\sin \theta_1&=\cosh t_2\sin \theta_2, \\
t_1&=t_2,
\endled\]
因为 $\cosh x>0$,所以上式等价于
\[\led
\cos \theta_1&=\cos \theta_2, \\
\sin \theta_1&=\sin \theta_2, \\
t_1&=t_2,
\endled\]
当 $\theta_1$, $\theta_2\in(-\pi,\pi)$ 时,由第一式得 $\theta_1=\theta_2$ 或 $\theta_1=-\theta_2$,前者符合第二式,而后者代入第二式后得出 $\theta_2=0$,依然得出 $\theta_1=\theta_2$,所以总有 $\theta_1=\theta_2$, $t_1=t_2$,于是就是单射。

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回复 4# kuing


所以2)3)都是用一样的证法?

谢谢谢谢

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回复 5# opuikl_0

嗯,但可能复杂点

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