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[函数] 来自人教群前晚的一道二次函数“近零点”

渝X教师,周伟(2859*****) 21:32:55
QQ图片20160219013551.jpg
2016-2-19 01:34

这题如何搞

川M教师谨(2758*****) 23:30:46
QQ图片20160219013658.png
2017-11-9 14:44


苏L教师wwdwwd117(2365*****) 0:37:59
感性解法
\(\newcommand\relph[1][=]{\mathrel{\phantom{#1}}}\)
这种“感性解法”我觉得不能算是解法,因为太不严谨,顶多算是猜答案,在考场上确实管用。
不过要给出严格的代数解法还真有点难,我当时也没什么好的想法,直到刚才想到拉格朗日插值才勉强搞了出来。

题目:对于函数 $f(x)$,若存在 $x_0\inZ$,满足 $\abs{f(x_0)}\leqslant1/4$,则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个“近零点”。已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$)有四个不同的“近零点”,则 $a$ 的最大值为

解:依题意可设 $y=f(x)$ 过四点 $(n_1,y_1)$, $(n_2,y_2)$, $(n_3,y_3)$, $(n_4,y_4)$,其中 $n_1<n_2<n_3<n_4$, $n_i\inZ$, $\abs{y_i}\leqslant 1/4$, $i=1$, $2$, $3$, $4$,由拉格朗日插值公式,$f(x)$ 可以写成
\[f(x)=y_1\frac{(x-n_2)(x-n_3)}{(n_1-n_2)(n_1-n_3)}
+y_2\frac{(x-n_1)(x-n_3)}{(n_2-n_1)(n_2-n_3)}
+y_3\frac{(x-n_1)(x-n_2)}{(n_3-n_1)(n_3-n_2)},\]
对比系数得
\[a=\frac{y_1}{(n_1-n_2)(n_1-n_3)}
+\frac{y_2}{(n_2-n_1)(n_2-n_3)}
+\frac{y_3}{(n_3-n_1)(n_3-n_2)},\]
现在,假设 $a>1/4$,则
\[\frac{y_3}{(n_3-n_1)(n_3-n_2)}>\frac14
-\frac{y_1}{(n_1-n_2)(n_1-n_3)}-\frac{y_2}{(n_2-n_1)(n_2-n_3)},\]
于是
\begin{align*}
y_4&=y_1\frac{(n_4-n_2)(n_4-n_3)}{(n_1-n_2)(n_1-n_3)}
+y_2\frac{(n_4-n_1)(n_4-n_3)}{(n_2-n_1)(n_2-n_3)}
+y_3\frac{(n_4-n_1)(n_4-n_2)}{(n_3-n_1)(n_3-n_2)} \\
&>y_1\frac{(n_4-n_2)(n_4-n_3)-(n_4-n_1)(n_4-n_2)}{(n_1-n_2)(n_1-n_3)} \\
&\relph {} +y_2\frac{(n_4-n_1)(n_4-n_3)-(n_4-n_1)(n_4-n_2)}{(n_2-n_1)(n_2-n_3)}
+\frac{(n_4-n_1)(n_4-n_2)}4 \\
&=y_1\frac{n_4-n_2}{n_1-n_2}+y_2\frac{n_4-n_1}{n_2-n_1}
+\frac{(n_4-n_1)(n_4-n_2)}4 \\
&\geqslant -\frac{n_4-n_2}{4(n_2-n_1)}-\frac{n_4-n_1}{4(n_2-n_1)}
+\frac{(n_4-n_1)(n_4-n_2)}4,
\end{align*}
令 $p=n_2-n_1$, $q=n_4-n_2$,则 $p\geqslant 1$, $q\geqslant 2$,代入得
\[y_4>-\frac q{4p}-\frac{p+q}{4p}+\frac{(p+q)q}4
=\frac14+\frac{(p+q)(pq-2)}{4p}\geqslant \frac14,\]
与 $\abs{y_4}\leqslant 1/4$ 矛盾!所以必有$a\leqslant 1/4$。

最后举一例 $f(x)=(x^2-3x+1)/4$ 满足条件,所以 $a$ 的最大值为 $1/4$。
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

期待看到更简洁的证法,水饺……

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哇哇,下一拉,吓一跳,这么大工程的选择题。。。

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本帖最后由 走走看看 于 2017-11-9 16:57 编辑

回复 2# kuing


这里有个参考答案:
https://www.zybang.com/question/ ... cf034524f1deff.html

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印象中这个题我有回复过,怎么现在没显示?
记g(x)=ax^2,则g(3/2)-g(1/2)≤1/2.

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印象中这个题我有回复过,怎么现在没显示?
记g(x)=ax^2,则g(3/2)-g(1/2)≤1/2.
游客 发表于 2018-5-8 14:23
因为你回的是这帖:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4984
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