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[不等式] 昨晚人教群里的一道不等式求妙解

教师-deftbitx(3483****)  22:59:55
kk,再来一个吧
已知a,b,c都是非负实数,且a+b+c=2 ,求P=ab/(1+c^2)+bc/(1+a^2)+ca/(1+b^2)的最大值.

题目:已知 $a$, $b$, $c$ 都是非负实数,且 $a+b+c=2$,求\[P(a,b,c)=\frac{ab}{1+c^2}+\frac{bc}{1+a^2}+\frac{ca}{1+b^2}\]的最大值。

我的解法比较难看,求高手给个妙解。
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呃,没人玩?好吧,我写一下我的证法。

$P(0,1,1)=1$,下面证明 $P(a,b,c)\leqslant1$。

当 $x\in\mbb R$ 时
\[\frac{x^2}4-x+\frac54-\frac1{1+x^2}=\frac{(x-1)^4}{4(1+x^2)}\geqslant0 \riff\frac1{1+x^2}\leqslant\frac{x^2}4-x+\frac54,\]
当 $x^2\leqslant1$ 时
\[1-\frac{x^2}2-\frac1{1+x^2}=\frac{x^2(1-x^2)}{2(1+x^2)}\geqslant0 \riff\frac1{1+x^2}\leqslant1-\frac{x^2}2,\]
由对称性,不妨设 $a=\min\{a,b,c\}$,则必有 $a\leqslant2/3\riff a^2<1$,故由以上两式得
\begin{align*}
P(a,b,c)&\leqslant ab\left( \frac{c^2}4-c+\frac54 \right)+bc\left( 1-\frac{a^2}2 \right)+ca\left( \frac{b^2}4-b+\frac54 \right) \\
&=\frac{abc(b+c)}4-2abc+\frac{5a(b+c)}4+bc\left( 1-\frac{a^2}2 \right) \\
&=bc\left( \frac{a(2-a)}4-2a+1-\frac{a^2}2 \right)+\frac{5a(2-a)}4 \\
&=\frac{bc}4(4-6a-3a^2)+\frac{5a(2-a)}4,
\end{align*}
当 $4-6a-3a^2<0$ 时,易证此时有 $a>1/2$,故\(\require{cancel}\)
\[\xcancel{P(a,b,c)\leqslant\frac{5a(2-a)}4<\frac54\cdot\frac12\cdot\frac32<1;}\gets 这步错了,修正后的见6楼\]
当 $4-6a-3a^2\geqslant0$ 时,由均值得
\begin{align*}
P(a,b,c)&\leqslant \frac{(2-a)^2}{16}(4-6a-3a^2)+\frac{5a(2-a)}4 \\
&=1-\frac1{16}a^2(3a^2-6a+4) \\
&=1-\frac1{16}a^2(6a^2+4-6a-3a^2) \\
&\leqslant1.
\end{align*}
综上所述,$P(a,b,c)\leqslant1$ 得证,即最大值就是 $1$。
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回复 2# kuing
,用二次函数逼近啊?一般都用切线逼近,学习了!
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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回复 3# 其妙

直线切不了,就升到二次了,当然我是看了图象才够胆试。
证得不太好看,感觉应该有两三下手势华丽解决的方法,继续求妙解……
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突然发现一个错误,已在2#标上,待修正。
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修正 2# 错误部分:
当 $4-6a-3a^2<0$ 时,易证此时有 $a>1/2$,故 $(2a-1)(2-3a)\geqslant0$,由
\[(b-a)(c-a)\geqslant0 \iff bc\geqslant a(b+c)-a^2=2a(1-a),\]

\[P(a,b,c)\leqslant\frac{a(1-a)}2(4-6a-3a^2)+\frac{5a(2-a)}4,\]

\[1-\left(\frac{a(1-a)}2(4-6a-3a^2)+\frac{5a(2-a)}4\right)=\frac{a^2(2a-1)(2-3a)+(1-a)(13a^2-14a+4)}4>0,\]
故此时有 $P(a,b,c)<1$;
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修正完后,解法就更难看了继续求妙解
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本帖最后由 szl6208 于 2013-10-8 20:29 编辑

给一个平方分拆吧!
$1-\sum\frac{ab}{1+c^2} = \frac{\sum(a-b)^2(1-c)^2[(32c-13)^2+32ab+1111]}{2048(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} + \frac{169a^2b^2c^2}{64(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}$
麻烦管理员给代码优化一下.我是越高越乱,没招啦!谢谢!!!

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回复 8# szl6208

够bao力的感觉……还1111……

优化代码?噢:
优化前的代码:
1 - \sum {\frac{{ab}}{{1 + {c^2}}}}  = \frac{{\sum {{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {a + b - c} \right)}^2}\left[ {{{\left( {32c - 13} \right)}^2} + 32ab + 1111} \right]} }}{{8192\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)}} + \frac{{169{a^2}{b^2}{c^2}}}{{64\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)}}
显示:
\[1 - \sum {\frac{{ab}}{{1 + {c^2}}}}  = \frac{{\sum {{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {a + b - c} \right)}^2}\left[ {{{\left( {32c - 13} \right)}^2} + 32ab + 1111} \right]} }}{{8192\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)}} + \frac{{169{a^2}{b^2}{c^2}}}{{64\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)}}\]

优化后的代码:
1-\sum\frac{ab}{1+c^2} = \frac{\sum(a-b)^2(a+b-c)^2[(32c-13)^2+32ab+1111]}{8192(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} + \frac{169a^2b^2c^2}{64(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}
显示:
\[1-\sum\frac{ab}{1+c^2} = \frac{\sum(a-b)^2(a+b-c)^2[(32c-13)^2+32ab+1111]}{8192(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} + \frac{169a^2b^2c^2}{64(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\]
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哦,谢谢,非常感谢!
不好意思,程序做的!

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回复 10# szl6208
咦,改了个数字?哪个才是啊?
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本帖最后由 szl6208 于 2013-10-8 20:30 编辑

都行,利用条件$a+b+c=2$简化了一下.
刚发现数字错误,已经改正.反正挺麻烦的。

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考虑神奇的局部
\[ \frac{4ab}{(a+b+c)^2+4c^2}\leq \frac{ab(a+b)}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)} \]
.................................
Let's solution say the method!

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回复 13# pxchg1200
果然有华丽证法,这么牛笔,谁给出的?
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西西哥做的。 Orz
Let's solution say the method!

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这菊部的确牛笔 OTZ
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回复 16# kuing


    果真是不一般的菊部

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条件改成$a+b+c=k$,这个又怎么局部?
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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