[不等式] 昨晚人教群的不等式，被k秒了

第一章

昨晚人教群的一个不等式证明：已知$a,b,c$是非负实数，且$a+b+c=1$，求证：$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leqslant\frac{1}{4}$.
$kk$的证法：$\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{b+c+c+a}\leqslant\frac{ab}{4(b+c)}+\frac{ab}{4(c+a)}$，求和即证.

第一章

没弄过不等式，$kk$用的应该是$\frac{1}{a+b}\leqslant\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$，$a,b$均为正数.
早上看到一个自招的题，恰好也用上这个不等式：
已知$x,y$都在区间(-2,2)内，且$xy=-1$，则函数$u=\frac{4}{4-x^2}+\frac{9}{9-y^2}$的最小值是
解：$\frac{4}{4-x^2}+\frac{9}{9-y^2}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{4}}+\frac{1}{1-\frac{y^2}{9}}\geqslant\frac{4}{1-\frac{x^2}{4}+1-\frac{y^2}{9}}\geqslant\frac{4}{2-(-2\frac{xy}{6})}=\frac{12}{5}$

第一章

原解答是把$y$消去，通分之后分离常数，有点小暴力。
大家还有没有其他方法？

第一章

权方和不等式

isee

那步拆分，神一般的基本不等式

\[\dfrac {x+y}2 \ge \dfrac 2{\frac 1x+\frac 1y}\iff \dfrac 2{x+y}\le \dfrac {x+y}{2xy}\iff \dfrac 1{x+y}\le \dfrac 1{4x}+\dfrac 1{4y}\]

isee

没弄过不等式，$kk$用的应该是$\frac{1}{a+b}\leqslant\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$，$a,b$均为 ...
第一章 发表于 2013-10-6 06:18

   

必修5的有些练习里也有这样的最值题，不过，一般是“边学边用”

其妙

回复 2# 第一章
最早不是自招吧？是某年的MO，现在都搞陈题了！

kuing

回复 7# 其妙
嗯，我不知道什么MO，但至少也知道反正是很老的题……

kuing

回复 2# 第一章

还记得有一种办法是变成级数的再均值的，不过我不太建议用，因为要明白其证明的合理性大概还需要了解级数的一些基本性质才行。

其妙

回复 3# 第一章
除了消元法、导数法外，还有多种方法，例如连续使用两次均值不等式：$a+b\geqslant2\sqrt{ab}$即得，
当然第一次是直接用该均值，然后展开括号；第二次是在展开括号在用一次该均值即可，运气好的是，两次取等条件居然一样！
最奇葩的是，逆用等比数列求和公式，再用上述均值不等式无穷次，然后又是无穷递缩等比数列求和！

其妙

回复 9# kuing
等我费力的码完字，发现有一种方法和你叙述的差不多一样，