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[物理]来自人教群的球在角落掉下来

粤A学生呆呆(1120******) 22:28:25
QQ截图20150921005647.jpg
2015-9-21 00:56

第4题怎么弄

刚开始时我是这样想的:

由于球离开桌角时,角对球无弹力,则球的重力在连心线上的分力完全用于向心力,设此时球心的速度为 $v$,则有
\[mg\cos \alpha =\frac{mv^2}R,\]
另一方面,设下降的高度为 $\Delta h$,则由重力势力转化为动能,有
\[mg\Delta h=\frac12mv^2,\]
易见
\[\Delta h=R-R\cos \alpha ,\]
由以上三个方程解得
\begin{align*}
\Delta h&=\frac13R, \\
\cos \alpha &=\frac23, \\
v &=\sqrt{\frac23gR}.
\end{align*}

但后来又感觉有点问题,不知是不是我想多了。

这里说的“球以桌角A为圆心顺时针转动”,过程中在接触的地方,到底是滑动的,还是不动的?
题目并没有说球或桌面是光滑的,如果不是光滑的,那接触点或许就一直是不动的,那么,在那点上就有了静摩擦力,球也会自转,于是第二个式子是否还成立呢?
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战巡说没空写,只好临时自学了一下关于刚体转动的一些东西。
当接触点不动,也就是滚下来时,上面第二个式子不成立,另外两个应该没问题。
因为 $A$ 处的静摩擦不做功,弹力也不做功,只有重力做功,所以左边不用变,而右边应加上角动能,即
\[mg\Delta h=\frac12mv^2+\frac12I_C\omega^2,\]
这里 $I_C$ 表示球对过球心且垂直于屏幕的轴的转动惯量,经计算知
\[I_C=\frac25mR^2,\]
又显然
\[\omega=\frac vR,\]
代入化简得
\[mg\Delta h=\frac7{10}mv^2,\]
再与楼上那两式联立,解得
\begin{align*}
\Delta h&=\frac 7{17}R, \\  
\cos \alpha &=\frac{10}{17}, \\
v &=\sqrt{\frac{10}{17}gR}.  
\end{align*}

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回复 5# 战巡

soga,有道撸……

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