[几何] 请教一道数学题

数学小黄

2013-10-4 15:44

_____kuing edit in $\LaTeX$_____
在长方体 $ABCD$-$A_1B_1C_1D_1$ 中，已知 $AC=1$, $B_1C=\sqrt2$, $AB_1=p$，则长方体的体积最大时，$p$ 为

kuing

设 $BA=x$, $BC=y$, $BB_1=z$，则 $x^2+y^2=1$, $y^2+z^2=2$, $z^2+x^2=p^2$，故
\[V^2=x^2y^2z^2=\frac{1+p^2-2}2\cdot\frac{1+2-p^2}2\cdot\frac{2+p^2-1}2=\frac{(p^4-1)(3-p^2)}8,\]
其中 $p^2\in(1,3)$，下略。

其妙

那就均值不等式的方法，

数学小黄

回复 3# 其妙


    请教，怎么用均值不等式啊

kuing

回复 4# 数学小黄
待定系数之类的

isee

求导得了，快且准

其妙

回复  数学小黄
待定系数之类的
kuing 发表于 2013-10-5 11:58

嗯，

其妙

求导得了，快且准
isee 发表于 2013-10-5 15:35

对，

数学小黄

回复 5# kuing


    能不朦胧吗，呵呵，麻烦秀出来让我们见识一下

chr93918

类似于这样一道题:各项均为正数的等比数列

kuing

回复 10# chr93918

这道题论坛上也有 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=204 均值不用那么麻烦

kuing

回复  kuing
能不朦胧吗，呵呵，麻烦秀出来让我们见识一下
数学小黄 发表于 2013-10-6 09:14

我还以为说了方法就都会了的，说多了怕罗嗦所以没讲下去，并不是有意“朦胧”你。
待定系数均值，大概就是 $(p^4-1)(3-p^2)=(ap^2+a)(bp^2-b)(3-p^2)/(ab)\leqslant \cdots$，然后自然需要 $a+b=1$，另外结合取等条件 $ap^2+a=bp^2-b=3-p^2$，将 $a$, $b$, $p$ 解出来即可。
“秀”完了，各路高手别笑话我。

数学小黄

回复 12# kuing


    多谢，明白了，谢谢您