免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] 昨晚人教群里一道简单二元含参不等式求参数最小

爱好者—V神(9802*****)  23:06:03
QQ图片20131004123923.jpg
2013-10-4 12:39

当 $a=b$ 时 $\lambda$ 能取 $\mbb R$;当 $a\ne b$ 时,分离参数等价于
\[\lambda \geqslant \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}-\sqrt{ab}},\]
分子分母同时有理化,等价于
\[\lambda \geqslant \frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}},\]
注意到
\[\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}<\frac{\sqrt2(a+b)+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}<\sqrt2,\]
又当 $b\not\to0$ 时
\[\lim _{a\to 0}\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt2,\]
故 $\lambda$ 的最小值为 $\sqrt2$。
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

返回列表 回复 发帖