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发表于 2013-10-4 12:43
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[不等式]
昨晚人教群里一道简单二元含参不等式求参数最小
爱好者—V神(9802*****) 23:06:03
2013-10-4 12:39
当 $a=b$ 时 $\lambda$ 能取 $\mbb R$;当 $a\ne b$ 时,分离参数等价于
\[\lambda \geqslant \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}-\sqrt{ab}},\]
分子分母同时有理化,等价于
\[\lambda \geqslant \frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}},\]
注意到
\[\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}<\frac{\sqrt2(a+b)+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}<\sqrt2,\]
又当 $b\not\to0$ 时
\[\lim _{a\to 0}\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt2,\]
故 $\lambda$ 的最小值为 $\sqrt2$。
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