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线性代数求L怎么求

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2015-8-18 10:39
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本帖最后由 tommywong 于 2015-8-18 16:43 编辑

$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1\\
0 & 1/2 & 3/2\\
1 & 3/2 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^T
$
...
$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
-5 & -3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
-5 & -3 & 1
\end{pmatrix}^T
$
$
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-3/2 & 1 & 0\\
1/2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-3/2 & 1 & 0\\
1/2 & 3 & 1
\end{pmatrix}^T
=
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
-3 & 1 & 0\\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
-3 & 1 & 0\\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}^T
$

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回复 2# tommywong


    谢谢,能具体点吗

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算了吧 我还解释不了为什么把Q换成$
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
$

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回复 4# tommywong


    用的是线性代数的什么知识点

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对称矩阵用的,忘了是二次型还是整膠花

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回复 1# hjfmhh


这个Q就有问题好吧,你要能让Q分解为$Q=L^TL$,就必须保证$Q$是正定或至少半正定阵,现在你这个明显就不满足条件

另外即便$Q$是正定阵或半正定阵,$Q=L^TL$也不是唯一的,有很多种分解方法
常见的一个是乔里斯基分解(Cholesky decomposition),分解出来的$L$是上三角或下三角阵,具体的自己去https://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition查吧,反正英文维基没被封

另一种常见的是求特征根和特征向量,假设$Q$的特征根是$\lambda_1, \lambda_2,...\lambda_n$,对应特征向量组成的矩阵为$C$
那么有
\[L=CDC^T\]
其中
\[D=Diag(\sqrt{\lambda_1},\sqrt{\lambda_2},...,\sqrt{\lambda_n})\]

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本帖最后由 hjfmhh 于 2015-8-27 16:37 编辑

回复 7# 战巡
]}Y6WTY7M{E3Y@F3YT16B4N.jpg
2015-8-27 16:34

能写写过程吗?第二种方法是什么定理?谢谢

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21世纪高等院校教材 云南省『十二五』规划教材
高等代数 郭龙先 张毅敏 何建琼 编 科学出版社
第6章 二次型
6.2 化二次行为标准形
定理6.2.1 数域F上的任意一个n阶对称矩阵都合同于一个对角矩阵
IMG_1340.JPG
2015-9-1 11:39

例6.2.3 解 作6×3矩阵,再进行定理6.2.1的初等变换
无标题.png
2015-9-1 11:39
现充已死,エロ当立。
维基用户页:https://zh.wikipedia.org/wiki/User:Tttfffkkk/
Notable algebra methods:https://artofproblemsolving.com/community/c728438
《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

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