[几何] 又一个向量题。。。

yuzi

今天几个，看不懂。。

2015-7-9 22:03

kuing

表示没看出那材料和所求有啥关系，倒是知道一些背景。

首先有如下命题：
设 $a$, $b$, $c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边 $BC$, $CA$, $AB$ 的长，$P$, $Q$ 为 $\triangle ABC$ 平面上任意两点，则
\[a\cdot PA\cdot QA+b\cdot PB\cdot QB+c\cdot PC\cdot QC \geqslant abc.\]

这命题我在旧版论坛里面证过，见 http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-158-1-8.html（8楼）。
由此，当 $Q$ 也为 $P$ 时，就有
\[a\cdot PA^2+b\cdot PB^2+c\cdot PC^2\geqslant abc,\]
而当 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内心时容易验证等号成立，所以 $a\cdot PA^2+b\cdot PB^2+c\cdot PC^2$ 的最小值就是 $abc$。

kuing

O，如果说用惯性矩不等式，那就更直接了。

时间关系就懒得码公式了，直接拍小丛书里的。

2015-7-10 00:38

令 $x=a$, $y=b$, $z=c$ 立得。

nash

我是转化为面积的两倍乘以外接圆直径

kuing

回复 4# nash

码一下过程吧

kuing

回复 4# nash

O，我也想到了一个证明，不知跟你的是否一样。

2015-7-10 02:06

由正弦定理得
\[a\cdot PA^2=2R\cdot PA^2\sin A,\]
如图，作 $PE\perp AC$, $PF\perp AB$，则显然 $A$, $E$, $P$, $F$ 四点共圆且 $PA$ 为其直径，那么又由正弦定理有
\[PA\sin A=EF,\]
于是
\[a\cdot PA^2=2R\cdot PA\cdot EF\geqslant 2R\cdot 2S_{AEPF},\]
同理有另外两式，三式相加即得
\[a\cdot PA^2+b\cdot PB^2+c\cdot PC^2\geqslant 4R\cdot\S{ABC}=abc,\]
当 $P$ 为内心时取等。

还是没看出和那材料有啥关联。

青青子衿

回复 3# kuing

O，如果说用惯性矩不等式，那就更直接了。
时间关系就懒得码公式了，直接拍小丛书里的。
令 $x=a$, $y=b$ ...
kuing 发表于 2015-7-10 00:38

数学奥林匹克小丛书之一《几何不等式》（冷岗松）P72
一个带参数的几何不等式
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=459

yuzi

奶奶的，要不要人活呀。

kuing

回复 8# yuzi

6#的证明还好理解吧……
PS、哪来的题呀鱼子酱，有答案吗，想看看怎么利用那材料的

hjfmhh

回复 6# kuing


    弱弱的问一句：$PA.EF>=2S_AEPF$这个是不是用了这个结论
“四边形的面积等于两对角线的夹角的正弦乘以两条对角线的乘积的一半 ”

kuing

回复 10# hjfmhh

是的

其妙

复数模不等式可以做吧？

kuing

复数模不等式可以做吧？
其妙 发表于 2015-7-10 23:25

2楼的双动点不等式，我在链接里就是用复数来证的，故此本题亦一定可以用复数做，只要改写一下就行。

其妙

2楼的双动点不等式，我在链接里就是用复数来证的，故此本题亦一定可以用复数做，只要改写一下就行。 ...
kuing 发表于 2015-7-10 23:40

链接太多，没注意看

kuing

挖个fen……
利用 Mathpix Snip 识别 3# 的公式，略加修改后即得如下（中文当然还是得自己敲）。

定理4（惯性矩不等式） 设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面上的任意一点，记 $P A=R_{1}, P B=R_{2}, P C=R_{3}$，则对任意实数 $x, y, z \in \mathbf{R}$ 有
$$
(x+y+z)\left(x R_{1}^{2}+y R_{2}^{2}+z R_{3}^{2}\right) \geqslant y z a^{2}+x z b^{2}+x y c^{2}
$$
等号成立当且仅当 $x R_{1} : y R_{2} : z R_{3}=\sin \alpha_{1} : \sin \alpha_{2} : \sin \alpha_{3}$，其中 $\alpha_i=\angle A_{i+1} P A_{i+2}\left(A_{4}=A_{1}, A_{5}=A_{2}, i=1,2,3\right)$（按同一方向取角）。

证明  令 $\overrightarrow{P Q}=\frac{\sum x \overrightarrow{P A}}{\sum x}$，则
\begin{align*}
0 &\leqslant\left(\sum x\right)^{2}|\overrightarrow{P Q}|^{2}=\left|\sum x \overrightarrow{P A}\right|^{2}\\
&=\sum x^{2}|\overrightarrow{P A}|^{2}+2 \sum x y \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}\\
&=\sum x^{2}|\overrightarrow{P A}|^{2}+\sum x y\left(|\overrightarrow{P A}|^{2}+|\overrightarrow{P B}|^{2}-|\overrightarrow{A B}|^{2}\right)\\
&=\left(\sum x\right)\left(\sum x|\overrightarrow{P A}|^{2}\right)-\sum x y|\overrightarrow{A B}|^{2}\\
&=\left(\sum x\right)\left(\sum x R_{1}^{2}\right)-\sum x y c^{2}.
\end{align*}

敬畏数学

这道题看了很久，没有读懂题意。。那段阅读材料信息有什么作用？难道就是四点共圆。难道仅是得到：$ a\cdot PA^2\geqslant 2R\cdot 2 S_{AEPF}，a\cdot PA^2+b\cdot PB^2+c\cdot PC^2\geqslant 2R\cdot 2 S_{ABC}，S_{ABC}=\frac{abc}{4R}$。

敬畏数学

回复 15# kuing
向量证法不错。设$ x=y=z$，则有：$R_1^2+R_2^2+R_3^2\geqslant \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) $，表明：三角形内一点到三顶点的距离平方和取得最小值时该点为三角形的重心。

乌贼

硬凑与信息关联，首先应用信息分别求$ \sqrt{2}AP,\sqrt{2}BP,\sqrt{2}CP $的最小值。
当$ P $为内心时易求：\[ AP=\sqrt{\dfrac{20}{3}},\\BP=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\\CP=\sqrt{\dfrac{2}{3}} \]构造如下图形$ AD=AE=AF=AP,\angle QAF=90\du ,\angle EAP=\angle PAF $。

2019-5-24 15:36

有\[ \sqrt{2}AP_{\min}=\sqrt{\dfrac{40}{3}} \]
同理\[ \sqrt{2}BP_{min}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}\\\sqrt{2}CP_{min}=\sqrt{\dfrac{4}{3}} \]所以\[ 2AP^2+3BP^2+4CP^2\geqslant \dfrac{40}{3}+8+\dfrac{8}{3}=24 \]
问题$ \angle ACB>90\du , \sqrt{2}CP_{min}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}$成立吗？取等条件成立吗？

敬畏数学

回复 18# 乌贼
好像没得问题噻。

乌贼

也可以是\[ \lambda _1AP_{min}=\lambda _1\sqrt{\dfrac{20}{3}}\\\lambda _2BP_{min}=\lambda _2\sqrt{\dfrac{8}{3}}\\\lambda _3CP_{min}=\lambda _1\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]其中$ \lambda _1,\lambda _2,\lambda _3\in R $，对应不同的角度，只要$P$点为内心。
那么$\lambda _1,\lambda _2,\lambda _3,x_1,x_2,x_3\in R $\[ \lambda_1AP^{x_1}+\lambda_2BP^{x_2}+ \lambda_3CP^{x_3}\geqslant \lambda_1\sqrt{\dfrac{20}{3}}^{x_1}+\lambda_2\sqrt{\dfrac{8}{3}}^{x_2}+ \lambda_3\sqrt{\dfrac{2}{3}}^{x_3}  \]成立吗？