[几何] 2015年湖北卷理科第14题：调和点列(与调和线束)

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如图，圆$C$与$x$轴相切于点$T(1,0)$ ，与$y$轴正半轴交于两点$A,B$（$B$在$A$的上方），且$\abs{AB}=2$．
（Ⅰ）圆C的标准方程为_____略____；
（Ⅱ）过点$A$任作一条直线与圆$O:x^2+y^2=1$相交于$M,N$两点，下列三个结论：① $\dfrac {\abs{NA}}{\abs{NB}}=\dfrac {\abs{MA}}{\abs{MB}}$；  ② （略）；  ③ （略）．

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第一问略。


从第二问开始：

圆O为单位圆，即有：点$O$为$DE$的中点。

又圆C与x轴切于T，与y轴交于B，C两点，由切割线定理有：
\[OT^2=OA \cdot OB=OE^2\Rightarrow AE\cdot DB=DA\cdot EB.\]

亦是说：B，E，A，D为调和点列，（进一步，则有：NB,NE,NA,ND为调和线束）。（这句话从高等几何上 说，表达不严谨，但就是这个意思大家明白就好）

而$EN\perp ND$，所以EN与ND分别为$\angle BNA$内，外角分线，故：\[\frac {NA}{NB}=\frac {AE}{EB}.\]

同样的，对M点亦有：\[\frac {MA}{MB}=\frac {AE}{EB}.\]

也就是说：\[\frac {NA}{NB}=\frac {MA}{MB}.\]

这样①是对的。

再结合第一问的，可以算出后两个也是对的。

故答案是：① ② ③ .

其妙

与阿氏圆有关，内角平分线定理和外角是平分线定理构造调和点列的一种手段（还有完全四点形（什么塞瓦、美丽老师定理等）、圆锥曲线例如椭圆等会出现调和点列），记忆方法：内分线段比和外分线段比成相反数。

活着＆存在

题目有没有问题？点A是圆C与Y轴的一个交点，过A的直线还要与圆C相交于M、N两点？

isee

回复 4# 活着＆存在


    这个属于个人录入错误，sorry.

   主楼已经更改。

    其图片题如下：

乌贼

这样的题让考生在高考场上作，出题者扯淡！

abababa

回复 2# isee
如果$NE$是$\angle ANB$的平分线，那$ME$也是$\angle AMB$的平分线，$E$就是内心了，这样$BE$就平分$\angle MBN$，省去了计算了。

活着＆存在

回复 6# 乌贼


    把竞赛题或者研究题放入普通高考卷（不是1B卷），出卷子的在秀。

然而人家却说是回归课本，因为课本有对应的例题和练习。

2015-6-12 12:43

isee

回复 6# 乌贼

别这么偏激呀，这是几何法，非解析几何法啊，问题的不同方面……

isee

回复  乌贼


    把竞赛题或者研究题放入普通高考卷（不是1B卷），出卷子的在秀。

然而人家却说是回归课 ...
活着＆存在 发表于 2015-6-12 10:06

这个相对就容易多了。

2015-6-12 20:45

PK直线交圆O于另一点于B（若B与K重合，虽然成立），在如图的情况下，则

\[PH\cdot PO=PA^2=PK\cdot PB\Rightarrow \frac {PH}{PK}=\frac {PB}{PO}.\]

又 \[\angle HPK=\angle BPO.\]

于是\[\triangle PHK \sim PBO\Rightarrow \frac {PK}{KH}=\frac{PO}{OB}=\frac {PO}{AO}=\frac {PA}{AH}.\]

活着＆存在

回复 10# isee


    那考题考的就是这个，而且不用几何，只要知道结论就可以，用代数更容易证，
前提就是课本题目（圆）。

乌贼

回复 8# 活着＆存在
我没看出两者关联

活着＆存在

回复 12# 乌贼


    考试题目中，过A作Y轴的垂线与单位圆相交于点H，然后计算证明BH与OH垂直就可以了。

isee

回复  活着＆存在
我没看出两者关联
乌贼 发表于 2015-6-13 00:12

    往深处说，就是极线与极点……其实就是这个了。

isee

这样的题让考生在高考场上作，出题者扯淡！
乌贼 发表于 2015-6-12 01:02

    初等方法来了：yddy11@人教论坛 4楼：

http://bbs.pep.com.cn/forum.php? ... &extra=page%3D1






    不过，第1个，无须数字计算的，\[ON^2=OT^2=OA\cdot OB=OM^2\Rightarrow \angle OBN=\angle ONM=\angle OMN=\angle OBM.\]

   从而BA是角分线，得到第1个成立。（横向看第1个，分子比分比，分母比分母。）

   不过，此法，第2与3又要麻烦些了，因为比值是多少，个人觉得，要借助解几或者阿氏圆来解决。

乌贼

回复 15# isee
我也看到了

青青子衿

回复 3# 其妙

与阿氏圆有关，内角平分线定理和外角是平分线定理构造调和点列的一种手段（还有完全四点形（什么塞瓦、美丽 ...
其妙 发表于 2015-6-11 19:05

每日一题[161] 阿波罗尼斯圆（2015年高考数学湖北卷理科数学第14题（填空压轴题））：http://lanqi.org/everyday/3733/