本帖最后由 realnumber 于 2015-5-4 13:39 编辑
最小值显然为-4,此时C、B重合,A、D重合.
以下求最大值.
设以圆心为原点,AB为x轴,建立直角坐标系,$C(\cos{\alpha},\sin{\alpha}),D(\cos{\beta},\sin{\beta}),A(-1,0),B(1,0)$.
考虑到对称性,以及$\vv{AC},\vv{BD}$夹角为锐角,不妨设$0\le\beta\le\alpha\le\pi$
那么
\[\vv{AC}·\vv{BD}=(\cos{\alpha}+1,\sin{\alpha})·(\cos{\beta}-1,\sin{\beta})\]
\[=(1+\cos{\alpha})\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}-\cos{\alpha}-1\]
\[\le\sqrt{{(1+\cos{\alpha})}^2+{\sin{\alpha}}^2}-\cos{\alpha}-1\]
设$\sqrt{1+\cos{\alpha}}=t$
即\[\vv{AC}·\vv{BD}=\sqrt{2}t-t^2\]
经验证在$t=\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$\alpha=\frac{2\pi}{3},\beta=\frac{\pi}{3}$时取最大值.
但本解法用辅助角公式,似乎超纲,虽然也可以用向量解释. |