回复 1# 敬畏数学
令$OH=h$
显然有$AH^2=1-\frac{h^2}{2}$
根据椭圆性质,显然$∠F_1AF_2$平分线是与椭圆在$A$点处切线垂直的,只要证明抛物线在$A$点切线$AB$同时也是$∠F_1AF_2$平分线即可
根据抛物线性质,可知$B(\frac{h}{2},0)$
因此:
\[\frac{F_1B}{F_2B}=\frac{1+\frac{h}{2}}{1-\frac{h}{2}}=\frac{2+h}{2-h}\]
另一方面:
\[\frac{AF_1}{AF_2}=\sqrt{\frac{AH^2+F_1H^2}{AH^2+F_2H^2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{h^2}{2}+(1+h)^2}{1-\frac{h^2}{2}+(1-h)^2}}=\frac{2+h}{2-h}=\frac{F_1B}{F_2B}\]
角平分线逆定理可知$AB$平分$∠F_1AF_2$,事情就结了 |