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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一对数型函数的单调性
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发表于 2013-10-1 13:50
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[函数]
一对数型函数的单调性
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2013-10-1 13:50
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发表于 2013-10-1 14:14
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\[f(x)=\frac{2\ln x+1}{\ln(2x+1)},\]
求导得
\[f'(x)=\frac{2\bigl((2x+1)\ln(2x+1)-2x\ln x-x\bigr)}{x(2x+1)\ln^2(2x+1)},\]
令
\[h(x)=(2x+1)\ln(2x+1)-2x\ln x-x,\]
求导得
\[h'(x)=2\ln(2x+1)-2\ln x-1=2\ln\left(2+\frac1x\right)-1>2\ln2-1>0,\]
而易证 $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$,故得 $\lim_{x\to0^+}h(x)=0$,所以 $h(x)>0$ 恒成立,即 $f'(x)>0$ 恒成立,故 $f(x)$ 递增。
而对于 $g(x)$,显然有
\[g(x)=f(x)-\frac2{\ln(2x+1)},\]
所以亦为单增。
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