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[组合] aabb填入4×4方格

山西宋XX:
aabb.png
2015-4-23 11:01
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先放置a,a有$2C_4^2C_4^2$
再放b,
1.若至少一个b在aa,的同行且同列有(9+9-1)种.
2.没有一个b与a同行且同列,但至少有一个b与a同行或同列,0.5(8×5)+8×2
3.任意a,b都不同行或列,2
所以答案是$2C_4^2C_4^2×(17+20+16+2)=3960$


有人说是   2007年全国联赛试题,就这个答案.

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本帖最后由 realnumber 于 2015-4-23 11:45 编辑

555,退步了.

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回复 4# realnumber
这道题考虑“旋转翻转等价”会变成什么样子呢?

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恩,问题叙述也稍微修改下,字母ab,改为小正方形和小圆.

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-4-13 11:37 编辑

回复 6# realnumber
我的思路是:
将一个棋盘拆分成两个棋盘,其中一个棋盘只能放方块(且不能同行同列),另一个棋盘只能放菱形(且不能同行同列),
算出在“旋转翻转等价”下的种类数之后(其中,还需要考虑拼凑成一个棋盘的拼凑法),再舍弃掉一个格子里装两个的情形。
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\blacksquare&\blacklozenge&&\hspace{7pt}\\
\hline
\blacklozenge&&\\
\hline
&&\blacksquare\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}
再推广,还可以让同类别的颜色不同
\begin{align*}
\square
\blacksquare
\lozenge
\blacklozenge
\end{align*}

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-4-14 19:28 编辑

回复 7# 青青子衿
.........................(二十五个点的分割线啊)
\(\require{cancel}   
\begin{array}{|c|c|c|c|}     
\hline     
{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\     
\hline     
&\blacksquare&\blacksquare&\blacksquare\\     
\hline     
&\color{cyan}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&\blacksquare&\blacksquare\\     
\hline     
&\color{cyan}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&\color{cyan}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&\blacksquare\\     
\hline     
\end{array}\)
.........................(二十五个点的分割线啊)
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\
\hline
&\blacksquare&&\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&&\hspace{7pt}\\
\hline
&&\blacksquare&\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}&\\
\hline
&&&\blacksquare\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&&\hspace{7pt}\\
\hline
&&\\
\hline
&&\blacksquare\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}&\\
\hline
&&\\
\hline
&&&\blacksquare\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}&\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
&&&\blacksquare\\
\hline
\end{array}\\
\end{align*}
.........................(二十五个点的分割线啊)
\(\require{cancel}  
\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
&{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\   
\hline   
\blacksquare&&\blacksquare&\blacksquare\\   
\hline   
\color{cyan}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&&\blacksquare&\blacksquare\\   
\hline   
\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&&\blacksquare&\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}\\   
\hline   
\end{array}\)
hhh~
\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
\hspace{7pt}&\blacksquare&\hspace{7pt}&\\  
\hline  
&&&\blacksquare\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}
\xrightarrow[]{\quad\,\huge\boldsymbol{\circlearrowleft}\quad}
\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
\hspace{7pt}&\blacksquare&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\blacksquare&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}
\)
.........................(二十五个点的分割线啊)
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\
\hline
\blacksquare&&&\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}\\
\hline
&&\blacksquare&\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\\
\hline
&&&\blacksquare\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}\\
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}\\
\hline
&&\\
\hline
&&\blacksquare\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\\
\hline
&&\\
\hline
&&&\blacksquare\\
\hline
&&\\
\hline
\end{array}&&
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}\\
\hline
&&\\
\hline
&&\\
\hline
&&\blacksquare&\\
\hline
\end{array}\\
\end{align*}
.........................(二十五个点的分割线啊)
\(\require{cancel}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&&\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}\\   
\hline   
&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\\   
\hline   
\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&&\blacksquare&\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}\\   
\hline   
\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&&\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}&\color{red}{\xcancel{ \color{black}{\blacksquare} }}\\   
\hline   
\end{array}\)
.........................(二十五个点的分割线啊)
\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\hspace{7pt}&&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\   
\hline   
&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\\   
\hline   
&&\blacksquare&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
\end{array}

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-4-16 21:27 编辑

\begin{align*}
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\  
\hline  
&\blacksquare&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4\,,1\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&&\hspace{7pt}\\  
\hline  
&&\blacksquare&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4\,,2\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}&\\  
\hline  
&&&\blacksquare\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4\,,3\right)\end{split}\\
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&&\hspace{7pt}\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\blacksquare\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4\,,4\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&&\blacksquare\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4\,,5\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&&\blacksquare\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4\,,6\right)\end{split}
\end{align*}
**************************************************
\begin{align*}
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
&{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\  
\hline  
\blacksquare&&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4,\,7\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}\\  
\hline  
&&\blacksquare&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4,\,8\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\\  
\hline  
&&&\blacksquare\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4,\,9\right)\end{split}\\
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\blacksquare\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4,\,10\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&\hspace{7pt}&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&&\blacksquare\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4,\,11\right)\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}  
\hline  
\hspace{7pt}&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\hspace{7pt}\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\\  
\hline  
&&\blacksquare&\\  
\hline  
\end{array}\\
\left(4\times4,\,12\right)\end{split}
\end{align*}
**************************************************
\begin{split}
\begin{array}{|c|c|c|c|}     
\hline     
\hspace{7pt}&&\hspace{7pt}&\hspace{7pt}\\     
\hline     
&{\color{darkgray}\blacksquare}&&\\     
\hline     
&&\blacksquare&\\     
\hline     
&&\\     
\hline     
\end{array}\\
\left(4\times4,\,13\right)
\end{split}
既然已经证明了:
在4×4棋盘放两个既不同行也不同列的两个同类元素,
在“旋转翻转等价”下的种类数为13.
那么可以对其进行配凑
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&
\left(4*,\,1\right)&\left(4*,\,2\right)&
\left(4*,\,3\right)&\left(4*,\,4\right)&
\left(4*,\,5\right)&\left(4*,\,6\right)&
\left(4*,\,7\right)&\left(4*,\,8\right)&
\left(4*,\,9\right)&\left(4*,\,10\right)&
\left(4*,\,11\right)&\left(4*,\,12\right)&
\left(4*,\,13\right)\\
\hline
\left(4*,\,1\right)
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark\\
\left(4*,\,2\right)&
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,3\right)&&
&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,4\right)&&&
&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,5\right)&&&&
&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,6\right)&&&&&
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,7\right)&&&&&&
&\checkmark&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,8\right)&&&&&&&
&\checkmark&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,9\right)&&&&&&&&
&\checkmark
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,10\right)&&&&&&&&&
&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,11\right)&&&&&&&&&&
&\checkmark&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,12\right)&&&&&&&&&&&
&\checkmark&\checkmark\\
\left(4*,\,13\right)&&&&&&&&&&&&
&\checkmark\\
\hline
\end{array}

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-5-3 00:47 编辑

回复 9# 青青子衿
将配凑的各种类的类型数填入下表,可得:
\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
&   
\left(4*,\,1\right)&\left(4*,\,2\right)&   
\left(4*,\,3\right)&\left(4*,\,4\right)&   
\left(4*,\,5\right)&\left(4*,\,6\right)&   
\left(4*,\,7\right)&\left(4*,\,8\right)&   
\left(4*,\,9\right)&\left(4*,\,10\right)&   
\left(4*,\,11\right)&\left(4*,\,12\right)&   
\left(4*,\,13\right)\\   
\hline   
\left(4*,\,1\right)   
&2&2&3&1   
&3&1&3&3   
&4&3&3&2   
&1\\   
\left(4*,\,2\right)&   
&4&6&2&6   
&1&4&6&8   
&6&4&4&1\\   
\left(4*,\,3\right)&&   
&5&3&5   
&1&3&7&6   
&7&3&3&2\\   
\left(4*,\,4\right)&&&   
&2&3   
&1&3&3&4   
&3&3&2&1\\   
\left(4*,\,5\right)&&&&   
&5   
&1&3&7&6   
&7&3&3&2\\   
\left(4*,\,6\right)&&&&&   
&1&2&2&2   
&2&2&2&2\\   
\left(4*,\,7\right)&&&&&&   
&2&3&2   
&3&2&1&2\\   
\left(4*,\,8\right)&&&&&&&   
&5&6   
&5&3&3&1\\   
\left(4*,\,9\right)&&&&&&&&   
&5   
&6&2&2&2\\   
\left(4*,\,10\right)&&&&&&&&&   
&5&3&3&1\\   
\left(4*,\,11\right)&&&&&&&&&&   
&2&1&2\\   
\left(4*,\,12\right)&&&&&&&&&&&   
&3&2\\   
\left(4*,\,13\right)&&&&&&&&&&&&   
&1\\   
\hline   
\end{array}

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回复  青青子衿
.........................(二十五个点的分割线啊)
\(\require{cancel}   
\begin{array ...
青青子衿 发表于 2019-4-13 12:57


原来都是LaTeX代码啊,有心了,学习了

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本帖最后由 Infinity 于 2019-4-20 16:44 编辑

回复 2# realnumber
2个a单独摆放有72种,2个b单独摆放72种,两两配对考虑完全重合的情形有 $72^2=5184$ 种,里面还存在a和b重合的情形,减去即可。假设有一个b与a重合,另一个b能选择的位置不能与这个重合的a在同一行列,故只能选择$4^2-(2\times4-1)=9$个位置,于是至少有一个位置重合的情形为 $2\times72\times 9$种,ab完全重复的情况为72种,根据容斥定理可知a,b没有任何重合的方案为$5184-2\times72\times9+72=3960$种。
这种计数方式就不用考虑颜色或字母区别的问题了,之前的方法容易出问题。

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本帖最后由 Infinity 于 2019-4-20 18:21 编辑

通过计算机筛选得到不对换位置的结果是1980种。
  1. n = 4; k = 2;
  2. s = SparseArray[#, {n,
  3.       n}] & /@ (Table[# ->
  4.          1 & /@ (Transpose@{Subsets[Range[n], {k}][[i]],
  5.           Permutations[Range[n], {k}][[j]]}), {i, 1,
  6.        Binomial[n, k]}, {j, 1, FactorialPower[n, k]}] //
  7.      Flatten[#, 1] &);
  8. p = Select[
  9.    Table[{i, j}, {i, 1,k! Binomial[n, k]^2 - 1}, {j, i + 1, k! Binomial[n, k]^2}] // Flatten[#, 1] &,
  10.    SameQ[s[[#[[1]]]] s[[#[[2]]]],
  11.      SparseArray[{{i_, j_} -> 0}, {n, n}]] &];
  12. % // Length
  13. MatrixPlot[#,
  14.    ColorRules -> {1 -> RGBColor[1, .75, .5],
  15.      2 -> RGBColor[0, .15, .5]}, ImageSize -> Tiny, Mesh -> All,
  16.    Frame -> None,
  17.    FrameTicks -> None] & /@ (s[[#[[1]]]] + 2 s[[#[[2]]]] & /@ p)
复制代码
部分结果如下:

2色4棋子摆放问题

2.png
2019-4-20 15:32

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如果将棋盘改为nxn,结果也很简单,单个颜色2棋子摆放数为 $2(C_n^2)^2=\frac{n^2(n-1)^2}{2}$种,至少有一个重合的情况为$2\frac{n^2(n-1)^2}{2}(n^2-(2n-1))=n^2(n-1)^4$,故最终方案数为$[\frac{n^2(n-1)^2}{2}]^2-n^2(n-1)^4+\frac{n^2(n-1)^2}{2}=\frac {1}4(n-1)^2n^2(n^4-2n^3-3n^2+8n-2)$
这个结果也可以很容易扩展到更多种字母的情形。

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除了不考虑旋转翻转的恒等置换$f_1$(上面已经求出)之外,如果考虑旋转和翻折,显然只有在旋转180度($f_3$)以及沿着对角线翻转($f_7,f_8)$时才存在不动点。对于旋转180度情形,不动点相当于中心对称,故计算上半平面各自分布1个棋子情形,不同棋子不重合。 对于对角线翻转,分成三种情况:都在对角线上$(C_n^2)^2-2(n-1)C_n^2+C_n^2=n(n-1)(n-2)(n-3)/4$,都不在对角线上$[\frac{n(n-1)}{2}]^2-\frac{n(n-1)}{2}$,一对在对角线上而另一对不在对角线上$2\frac{n(n-1)}{2}C_n^2$.
简单计算后不难得到\[f_3=\begin{cases}\frac{n^2(n^2-2)}{4},&&n=2k\\
\frac{(n-1)^2(n^2-2n-1)}{4},&&n=2k+1\end{cases}\]\[f_7,f_8=n(n-1)^3\]
由Burnside引理可知,考虑旋转翻转后aabb填充nxn方格的方案数为\[\frac {1}{8}(f_1+f_3+f_7+f_8)=\begin{cases}\frac{1}{32}n(n^7-4n^6+2n^5+12n^4-12n^3-12n^2+20n-8),&&n=2k\\
\frac{1}{32}(n-1)^3(n^5-n^4-4n^3+4n^2+11n+1),&&n=2k+1\end{cases}\]
考虑旋转翻转的情况,4x4只有529种,3x3只有31种,谁能验算一下?

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本帖最后由 Infinity 于 2019-4-21 15:06 编辑

假设每个字母(或每种颜色棋子)有$k$个,不考虑旋转翻转情形下,在nxn棋盘上满足同色(同字母)不同行且不同列的拼接方案为 $B_k(n)$,14#已经求出 $B_2(n)$,这里继续求$B_3(n)$的结果。
$k(k\leqslant n)$个同色棋子棋盘无冲突分布数为 $H_k(n)=k!(C_n^k)^2$,两种颜色各3个棋子的分布中,至少有$j(1\leqslant j\leqslant 3)$对异色棋子重合的分布数为$g_j(n)$. 根据容斥定理可知,异色无重合的总分布数为$B_3(n)=H_3(n)^2-3g_1(n)+3g_2(n)-g_3(n)$.
由于至少一对重合的情形中,该重合位置行列上不能再有其他棋子,故可删除所在行列,降为更低一阶的棋盘,于是$g_1(n)=H_3(n)H_2(n-1)$,同理$g_2(n)=H_3(n)H_1(n-2)$,$g_3(n)=H_3(n)$.
因此\[B_3(n)=\frac{1}{36}n^2(n-1)^2(n-2)^2(n^6-6n^5+4n^4+42n^3-95n^2+36n+30)\]计算得到 $B_3(2)=0$,$B_3(3)=12$,$B_3(4)=5088$,$B_3(5)=246000$,$B_3(6)=4432800$.
仍然可以使用13#程序验证颜色不对换的结果(即上面结果的一半),只需改变 $n$ 的取值即可(可注释掉绘图代码,仅计算结果),结果发现$n=2$~$6$都能通过验证。

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-4-25 22:49 编辑
考虑旋转翻转的情况,4x4只有529种,3x3只有31种,谁能验算一下?...
Infinity 发表于 2019-4-20 19:18

我加了一下10楼的结果,
考虑旋转翻转的情况,aabb填入4x4的情形中只有两百多种呀?(是我哪里算错了吗?

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回复 17# 青青子衿
可能你没考虑颜色(字母)可以对换。

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-5-3 00:56 编辑
回复  青青子衿
可能你没考虑颜色(字母)可以对换。
Infinity 发表于 2019-4-26 11:20

你说对了,我确实漏考虑颜色的调换问题
考虑旋转翻转的情况,4x4只有529种,3x3只有31种,谁能验算一下?...
Infinity 发表于 2019-4-20 19:18

我手工验算了一下  
aabb填入4x4的情形中,529是对的!
CGFNCN.xls (44 KB)
【附件】
tydpp.png
2019-5-3 00:53

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-5-4 22:42 编辑

\[ \huge{\color{black}{{\color{red}{37}}+2\cdot{\color{blue}{246}}=529}} \]
顺便补一个LaTeX的表格:
\[ \small\color{black}{\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline
&
    \left(4*,\,1\right)&\left(4*,\,2\right)&
    \left(4*,\,3\right)&\left(4*,\,4\right)&
    \left(4*,\,5\right)&\left(4*,\,6\right)&
    \left(4*,\,7\right)&\left(4*,\,8\right)&
    \left(4*,\,9\right)&\left(4*,\,10\right)&
    \left(4*,\,11\right)&\left(4*,\,12\right)&
    \left(4*,\,13\right)\\
    \hline
\left(4*,\,1\right)
    &1\cdot{\color{red}2}+2\cdot{\color{blue}0}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}4}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}\\
\left(4*,\,2\right)&
    &1\cdot{\color{red}3}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}4}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}&1\cdot{\color{red}2}+2\cdot{\color{blue}8}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}4}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}4}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}\\
\left(4*,\,3\right)&&
    &1\cdot{\color{red}4}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}5}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}7}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}7}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}\\
\left(4*,\,4\right)&&&
    &1\cdot{\color{red}2}+2\cdot{\color{blue}0}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}4}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}\\
\left(4*,\,5\right)&&&&
    &1\cdot{\color{red}4}+2\cdot{\color{blue}1}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}7}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}7}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}\\
\left(4*,\,6\right)&&&&&
    &1\cdot{\color{red}1}+2\cdot{\color{blue}0}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}\\
\left(4*,\,7\right)&&&&&&
    &1\cdot{\color{red}2}+2\cdot{\color{blue}0}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}\\
\left(4*,\,8\right)&&&&&&&
    &1\cdot{\color{red}4}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}5}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}\\
\left(4*,\,9\right)&&&&&&&&
    &1\cdot{\color{red}5}+2\cdot{\color{blue}0}
    &1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}6}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}\\
\left(4*,\,10\right)&&&&&&&&&
    &1\cdot{\color{red}4}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}3}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}\\
\left(4*,\,11\right)&&&&&&&&&&
    &1\cdot{\color{red}2}+2\cdot{\color{blue}0}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}1}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}\\
\left(4*,\,12\right)&&&&&&&&&&&
    &1\cdot{\color{red}3}+2\cdot{\color{blue}0}&1\cdot{\color{red}0}+2\cdot{\color{blue}2}\\
\left(4*,\,13\right)&&&&&&&&&&&&
    &1\cdot{\color{red}1}+2\cdot{\color{blue}0}\\
\hline
\end{array}} \]

******************************
表中部分例子如下:

\begin{align*}  
\left(4*,1\right)\oplus\left(4*,1\right)\colon&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\blacksquare&&&\square\\   
\hline   
&\blacksquare&\square&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{bl}}\oplus\left(4*,\,1_b\right)_{\text{wh}}\end{split}&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\blacksquare&&&\\   
\hline   
&\blacksquare&&\\   
\hline   
&&\square\\   
\hline   
&&&\square\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{bl}}\oplus\left(4*,\,1_c\right)_{\text{wh}}\end{split}\\
\left(4*,1\right)\oplus\left(4*,2\right)\colon&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\blacksquare&&&\square\\   
\hline   
&\blacksquare&&\\   
\hline   
&&\square\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{bl}}\oplus\left(4*,\,2_d\right)_{\text{wh}}\end{split}&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\blacksquare&&&\\   
\hline   
&\blacksquare&\square&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&&\square\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{bl}}\oplus\left(4*,\,2_e\right)_{\text{wh}}\end{split}\\
&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\square&&&\blacksquare\\   
\hline   
&\square&&\\   
\hline   
&&\blacksquare\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{wh}}\oplus\left(4*,\,2_d\right)_{\text{bl}}\end{split}&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\square&&&\\   
\hline   
&\square&\blacksquare&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&&\blacksquare\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{wh}}\oplus\left(4*,\,2_e\right)_{\text{bl}}\end{split}\\
\end{align*}

\begin{align*}
\left(4*,1\right)\oplus\left(4*,3\right)\colon&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\blacksquare&&\hspace{7pt}&\square\\   
\hline   
\square&\blacksquare&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{bl}}\oplus\left(4*,\,3_c\right)_{\text{wh}}\end{split}&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\blacksquare&&&\square\\   
\hline   
&\blacksquare&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&\square&\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{bl}}\oplus\left(4*,\,3_d\right)_{\text{wh}}\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\blacksquare&&\square&\\   
\hline   
&\blacksquare&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&&\square\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{bl}}\oplus\left(4*,\,3_e\right)_{\text{wh}}\end{split}\\
&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\square&&\hspace{7pt}&\blacksquare\\   
\hline   
\blacksquare&\square&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{wh}}\oplus\left(4*,\,3_c\right)_{\text{bl}}\end{split}&&  
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\square&&&\blacksquare\\   
\hline   
&\square&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&\blacksquare&\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{wh}}\oplus\left(4*,\,3_d\right)_{\text{bl}}\end{split}&&
\begin{split}\begin{array}{|c|c|c|c|}   
\hline   
\square&&\blacksquare&\\   
\hline   
&\square&&\\   
\hline   
&&\\   
\hline   
&&&\blacksquare\\   
\hline   
\end{array}\\
\left(4*,\,1_a\right)_{\text{wh}}\oplus\left(4*,\,3_e\right)_{\text{bl}}\end{split}\\
\end{align*}

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