来自人教群的$\int\ln(x+\sqrt{1+x^2})\rmd x$

kuing

冀F教师老纪(2997****) 2015-3-15 11:47:06

2015-3-15 12:32

求助，忘了怎么做了

粤A爱好者kuing(249533164)  12:13:21

2015-3-15 12:32

代码存档：

令 $x=\sinh t$，则 $\ln \bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)=\arcsinh x=t$，故

\begin{align*}

\int\ln \bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)\rmd x&=\int t\rmd(\sinh t) \\ 

 & =t\sinh t-\int\sinh t\rmd t \\ 

 & =t\sinh t-\cosh t+C \\ 

 & =t\sinh t-\sqrt{1+\sinh^2t}+C \\ 

 & =x\ln \bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)-\sqrt{1+x^2}+C. 

\end{align*}

Tesla35

不用换元啊。直接分部积分就好了

kuing

回复 2# Tesla35

换元更方便啊……

其妙

回复 3# kuing
查积分表更方便

其妙

回复  kuing
查积分表更方便
其妙 发表于 2015-3-15 19:55

2015-3-15 19:58

kuing

回复 5# 其妙

Tesla35

回复 5# 其妙

isee

回复 5# 其妙


    书早不知道到哪个角落去了。