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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 2012江苏附加题
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aishuxue
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发表于 2013-9-30 19:54
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[数论]
2012江苏附加题
能否给出一个学生易懂的解法?
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kuing
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发表于 2013-9-30 21:48
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将答案细化,大概就是这种意思:
如果 $2x\leqslant n$,则条件(3)可以化为:若 $x\notin A$,则 $2x\in A$。
因此,当 $2x\leqslant n$ 时,$x$ 与 $2x$ 有且只有一个属于 $A$。
如果 $x$ 为偶数,则同理也有 $x/2$ 与 $x$ 有且只有一个属于 $A$,如果此推,直至 $x/2^k$ 为奇数,记此奇数为 $p$。
如果 $4x\leqslant n$,则同理也有 $2x$ 与 $4x$ 有且只有一个属于 $A$,如果此推,直至最大的 $2^kx$(即再翻倍就超过 $n$),记此 $2^kx$ 为 $q$。
也就是说,如果 $p$ 一旦被确定了属于 $A$ 与否,那么数列 $\{p, 2p, \ldots, x/4, x/2, x, 2x, 4x, \ldots, q\}$ 里的所有数是否属于 $A$ 也都被确定下来了,所以 $A$ 的情况就完全取决于对这些奇数 $p$ 的取舍。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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aishuxue
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发表于 2013-9-30 22:37
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非常好的解释,谢谢kuing!
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