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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一条三元不等式
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发表于 2015-1-31 20:45
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[不等式]
一条三元不等式
设$a,b,c$是非负实数,证明:$\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a-b)}{b^2+ac}+\frac{c(a+b-c)}{c^2+ab}\geqslant 0$
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kuing
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发表于 2015-2-1 05:06
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睡不着觉,起来撸道题……
显然如果 $a$, $b$, $c$ 能构成三角形三边则不等式显然成立,当 $a$, $b$, $c$ 不能构成三角形三边时,由对称性不妨设 $a\geqslant b+c$,则
\begin{align*}
\sum\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}
&=\frac{a(b+c-a)}{a^2+bc}
+\frac{ab+bc+ca}{b^2+ca}+\frac{ab+bc+ca}{c^2+ab}-2\\
&\geqslant \frac{b+c-a}a+\frac{4(ab+bc+ca)}{b^2+ca+c^2+ab}-2\\
&\geqslant \frac{b+c-a}a+\frac{4(ab+ca)}{(b+c)^2+ca+ab}-2\\
&=\frac{a+b+c}a+\frac{4a}{a+b+c}-4\\
&\geqslant 0,
\end{align*}
即得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2015-2-1 14:36
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奈斯
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发表于 2015-2-3 20:36
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看来不对称也美?
不等式以“对称美”而横贯天下,吸引了一大批爱好者!
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kuing
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发表于 2015-2-3 21:08
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其妙
哪里不对称了?
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发表于 2015-2-3 21:30
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kuing
题目是对称的;
证法似乎不是对称证明 方法
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睡仙
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发表于 2015-2-3 22:07
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哈哈无需什么三角形什么个东西,CS直接二行搞定
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其妙
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发表于 2015-2-3 23:01
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牛笔!
欢迎县长!
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