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回复 5# realnumber


不要乱想啊同志,想了解的话去找书看...

狭义相对论核心其实是这么一个东西:
假设两个三维时空(包含三个空间坐标和一个时间坐标)惯性系$A:(x,y,z,t)$和$B:(x',y',z't')$,且$B$相对$A$在$x$轴方向上有速度$v$
对牛顿空间而言,两坐标系之间使用伽利略变换,即有:
\[\begin{cases} x'=x-vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}\]
而狭义相对论则改用洛伦兹变换,即有:
\[\begin{cases} x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\y'=y\\z'=z\\t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{cases}\]
这是光速不变得出的结论,而在$v<<c$时,$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx 1, \frac{v}{c^2}\approx 0$,两者基本等价

此时如果一个$B$中静止的光源,朝一个$A$中静止的观察者发出一道波长$\lambda$的光,不妨假设观察者、光源起始所在坐标都为$(0,0,0,0)$,由于波长为$\lambda$,可知频率为$f=\frac{c}{\lambda}$,按理说在参考系$B$中发出一个周期的光需要时间$t'=\frac{1}{f}=\frac{\lambda}{c}$
然而经过时间$t'$以后,光源随着参考系$B$已经跑到了$x=\frac{vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$的位置,此时它发出光周期的末段,又需要$\frac{x}{c}$的时间才能到达观察者,因此观察者收到一个完整的光周期需要时间为
\[t=t'+\frac{x}{c}=t'·\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}\]
其看到的波长就变成了
\[\lambda_o=ct=ct'·\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}·\lambda\]
由于这里假设两者相互远离,$v>0$,可见收到的波长比原来长了,这就是红移现象,如果是两者相向而行有$v<0$,波长变短,这就是蓝移现象


关于相对运动的问题,假设这里多假设一个惯性系$C:(x_c,y_c,z_c,t_c)$,相对参考系$A$有$x$轴方向速度$u$,那么对参考系$A$中的观察者,参考系$B$有速度$v$,参考系$C$有速度$u$,那么对参考系$B$中的观察者呢?
由洛伦兹变换可知
\[\begin{cases} x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{x_c+ut_c}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\y=y'=y_c\\ z=z'=z_c \\ t=\frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{t_c+\frac{u}{c^2}x_c}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{cases}\]
由第四条可得
\[t_c=\frac{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}(t'+\frac{v}{c^2}x')}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{u}{c^2}x_c\]
带入第一条并化简可得
\[x_c=\frac{(1-\frac{uv}{c^2})x'+(v-u)t'}{\sqrt{(1-\frac{v^2}{c^2})(1-\frac{u^2}{c^2})}}=\frac{x'+wt'}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}\]
其中$w=\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}}$就是$C$相对$B$的速度了
注意到
\[c-w=c-\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}}=\frac{c(c+u)(c-v)}{c^2-uv}\ge 0\]
\[c+w=\frac{c(c-u)(c+v)}{c^2-uv}\ge 0\]
因此有
\[-c\le w\le c\]
相对速度是不会超过光速的
如果是两个相向而行且均为$0.75c$的惯性系,即$v=-u=0.75c$,其中一个惯性系看另一个的速度为
\[\frac{0.75c+0.75c}{1+0.75^2}=0.96c\]

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